tecnicas de conteo

Técnicas de conteo y
probabilidad

CONCEPTOS BÁSICOS
La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia
los experimentos aleatorios, es decir, los experimentos en los cuales
no se puede predecir con certeza el resultado.
La probabilidad se aplica en la administración, la economía,
la medicina, la psicología, la genética, entre otras.
Algunos conceptos básicos en probabilidad son:Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados
de un experimento aleatorio. Se simboliza S.
Evento: es un conjunto conformado por elementos del espacio muestral.
Los eventos se simbolizan con letras mayúsculas.

EJEMPLOS
Determinar el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.

a. Lanzar dos monedas.
Las posibilidades son que caiga cara (C) o quecaiga sello (S).
Así, el espacio muestral es :

S = CC, CS, SC, SS
b. Contestar tres preguntas cuyas posibilidades de respuesta son verdadero
o falso.
Solo hay dos posibilidades de respuesta verdadero (V) y falso (F ).
Por tanto, el espacio muestral es:

S=

 VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF

ACTIVIDADES
1. Determinar el espacio muestral de los siguientes experimentosaleatorios.
a. Elegir un presidente entre los candidatos Pérez, Martínez y Riquelme.
b. Extraer una balota de una bolsa que contiene balotas amarillas, azules
y rojas.
2. Se lanza una moneda tres veces consecutivas. Escribe los elementos
de los siguientes eventos:
a. El evento B que consiste en sacar dos caras.
b. El evento C que consiste en sacar sello solo una vez.
c. El evento D que consisteen sacar cara en el primer lanzamiento.

TÉCNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo se utilizan para determinar el número de elementos
del espacio muestral.

Las técnicas de conteo son: principio de multiplicación, permutaciones
y combinaciones.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Permite hallar el número de elementos del espacio muestral cuando
se forman grupos de una misma población. Porejemplo, al formar
números de dos cifras con los números del 1 al 3, se tiene que el número
de posibilidades es 3 × 3 = 9.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
•

Si se desea realizar una actividad que
consta de r pasos, en donde:

el primer paso de la actividad a realizar
puede ser llevado a cabo de N1
maneras o formas,
el segundo paso de N2 maneras o formas

y el n-ésimo paso de Nn maneras oformas,
entonces esta actividad puede ser llevada a
efecto de:
N1 x N2 x ..........x Nn maneras o formas

Ejemplo:

¿Cuántas placas para automóvil pueden ser
diseñadas si deben constar de tres
letras seguidas de cuatro números, si las
letras deben ser tomadas del abecedario
y los números de entre los dígitos del 0
al 9?,
a. Si es posible repetir letras y números,
b. No es posiblerepetir letras y números,
c. Cuántas de las placas diseñadas en el
inciso b empiezan por la letra D y
empiezan por el cero,
d. Cuantas de las placas diseñadas en el
inciso b empiezan por la letra D seguida
de la G.

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ACTIVIDADES
Observa el menú que ofrece un restaurante a sus clientes. Luego, responde.
Sopas

Plato principal

Bebida

Postre

Pasta

CarneJugo

Gelatina

Plátano

Pollo

Gaseosa

Fruta

Coliflor

Pescado

Malteada

Natilla

a. Determina de cuántas formas distintas puede ordenar una persona
su almuerzo.
b. Si una persona tiene prohibida el consumo de gaseosa,
¿de cuántas formas distintas puede elegir su almuerzo?.

PERMUTACIONES
La permutación es una técnica de conteo en la cual importa el orden, perono
hay repetición.
El número de permutaciones de N objetos tomados de n en n está dado por:
N Pn =

N!
(N - n)!

Donde N! = (N) × (N - 1) × (N - 2 ) × ... × 2 × 1 y 0! = 1
.
Por ejemplo, si se quiere saber cuántas formas hay para escoger a un
defensa, un delantero y un volante, entre 7 jugadores de un equipo de fútbol,
se realiza:
7P =
3

7!
7!
=
= 7 × 5 × 6 = 210
(7 - 3)!
4!...