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Derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.Ejemplos
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.



Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.






Calcular la derivada de  en x = −5.Hallar la derivada de  en x = 1.




Determinar la derivada de  en x = 2.





Calcula el valor de la derivada  en x = 2.






Hallar la derivada de  en x = 3.





Derivadaslaterales
Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadaslaterales coinciden.


Ejemplo
Estudiar el valor de la derivada de  en x = 0


Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.
Interpretación de la derivadaInterpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tantoel ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)


Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos enlos que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas sonparalelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.






Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x −1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.








Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a...