Tecnología de fabricación

Tr´fico: variables dependiente e independiente a
Lo m´s razonable en este caso es tratar de explicar la velocidad de a los veh´ ıculos a partir de la densidad del tr´fico, es decir, tomar a

Tr´fico: diagrama de dispersi´n a o
El siguiente diagrama de dispersi´n representa estos datos: o

• como variable dependiente (Y ) la velocidad, • como variable independiente (X) la densidad.
X 20 30 4050 50 110 Y 100 95 90 86 89 80

En la nube de puntos se aprecia que hay una relaci´n lineal bastante o clara entre las variables, y que es de tipo negativo: a mayor densidad del tr´fico, menor velocidad, y viceversa. a

Tr´fico: tabla para los c´lculos a a
Para calcular el coeficiente de correlaci´n y la recta de regresi´n de los o o datos necesitamos conocer las medias y varianzas de cadavariable, y la covarianza entre ambas. La tabla siguiente facilita los c´lculos de dichos estad´ a ısticos Punto 1 2 3 4 5 6 Suma X 20 30 40 50 50 110 300 Y 100 95 90 86 89 80 540 X2 400 900 1600 2500 2500 12100 20000 Y2 10000 9025 8100 7396 7921 6400 48842 X ·Y 2000 2850 3600 4300 4450 8800 26000

Tr´fico: c´lculo de estad´ a a ısticos
Punto 1 2 3 4 5 6 Suma Tenemos as´ que ı
6

X 20 30 40 50 50110 300

Y 100 95 90 86 89 80 540

X2 400 900 1600 2500 2500 12100 20000

Y2 10000 9025 8100 7396 7921 6400 48842

X ·Y 2000 2850 3600 4300 4450 8800 26000

300 = 50 x= ¯ 6

x2 i
i=1

6
6 2 yi i=1

=

20000 = 3333,33 6

s2 = 3333,33 − 502 = 833,33 x

540 y= ¯ = 90 6

6
6

=

48842 = 8140,33 6

s2 = 8140,33 − 902 = 40,33 y

xi yi
i=1

6

=

26000 = 4333,336

sxy = 4333,33 − 50 · 90 = −166,67

Tr´fico: coeficiente de correlaci´n a o
Resumiendo: el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de estos datos son
  

Tr´fico: recta de regresi´n a o
  

x ¯ y ¯



x ¯ y ¯



  =



50 90



 ;

 S=



s2 sxy x sxy s2 y



   =



833,33 −166,67

−166,67 40,33

  

 =



50 90

  

S=




s2 sxy x sxy s2 y



   =



833,33 −166,67

−166,67 40,33



 

El valor de la pendiente de la recta de regresi´n es por tanto o b= −166,67 sxy = −0,2 = 2 sx 833,33

A partir de estos elementos podemos calcular el coeficiente de correlaci´n entre la densidad del tr´fico y la velocidad de los veh´ o a ıculos: rxy = √ −166,67 = − 0,909833,33 × 40,33

En cuanto al intercepto, su valor es a = y − b x = 90 − (−0,2 · 50) = 100 En consecuencia, la recta de regresi´n es o y = 100 − 0,2 · x ˆ

Puesto que se trata de un coeficiente de correlaci´n negativo y baso tante pr´ximo a -1, indica que existe una clara dependencia lineal o negativa entre X e Y .

Tr´fico: interpretaci´n de la recta de regresi´n a o o
El siguiente gr´ficorepresenta esta recta de regresi´n: a o

Predici´n o

La pendiente, b = −0,2, indica que, si la densidad del tr´fico se ina crementa en un veh´ ıculo por km, entonces el descenso medio de la velocidad es de 0,2 km/h. El intercepto, a = 100, sugiere que, si la densidad del tr´fico es 0, es a decir, si no hay ning´n coche en la carretera, entonces el primer coche u que llegue podr´ circular a unavelocidad promedio de 100 km/h. a

Sonia Hern´ndez Alonso a Estad´ ıstica-Ciencias Ambientales (URJC)

¿C´mo hacer predicciones con la recta regresi´n? o o
Una vez que hemos encontrado la recta de regresi´n, o y = a + b x, ˆ a partir de n datos bivariantes, (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), si nos indican un nuevo valor de x, llam´mosle xn+1, podremos hacer e una predicci´n de sucorrespondiente valor de y, es decir, de yn+1, o simplemente calculando yn+1 = a + b xn+1 ˆ esto es yn+1 = y − ˆ o, lo que es lo mismo, yn+1 = y + ˆ sxy s2 x xn+1 − x sxy sxy x + 2 xn+1 s2 sx x

Ejemplo: predicciones (tr´fico) a
Supongamos que se nos indica que en un determinado punto de la red de carreteras, la densidad del tr´fico es de 70 veh´ a ıculos por km. ¿Qu´ predicci´n podemos hacer sobre...