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Teoría de control 1 Aula 3

La función de transferencia
La función de transferencia:

L [c(t )] Función de transferencia = L [r (t )]

c(t ) = salida r (t ) = entrada

con condiciones iniciales cero

La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condicionesiniciales cero. •Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. •Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema. •Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada •No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema

La función de transferencia
Ejemplos de funciones detransferencia:
R

1.- Circuito RL Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

i (t )
v(t )
Figura 1. Circuito RL

di v(t ) = Ri(t ) + L dt

L

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:

V ( s ) = RI ( s ) + LsI ( s )
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:

I (s) = V (s) L s + 1 R

1 R

La función de transferencia
2.- Sistema masaamortiguador resorte Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:

d2y dy m 2 + b + ky (t ) = r (t ) dt dt donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t )
es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es: m

k

b

M s 2Y ( s ) − sy (0+ ) − y ' (0+ ) + b sY ( s ) − y (0+ ) + KY ( s ) = R ( s )considerando:

(

) (

)

y(t) r(t)

y ' (0 + ) = 0, y (0+ ) = 0,

Ms 2Y ( s ) + bsY ( s ) + KY ( s ) = R ( s )

Figura 1. Sistema masa Amortiguador resorte.

1 Y ( s) = La función de transferencia es: R ( s ) Ms 2 + bs + K

La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entoncespara conservar la condición una entrada una salida se hace r (t ) = 0

M s 2Y ( s ) − sy (0+ ) − y ' (0+ ) + b sY ( s ) − y (0+ ) + KY ( s ) = R ( s )
condiciones iniciales

(

) (

)

r (t ) = 0, y ' (0 + ) = 0, y (0 + ) = y0 ,

La función de transferencia es:

Y ( s) =

y0 ( Ms + b) Ms 2 + bs + K

Ahora el desplazamiento solo depende de la posición inicial y los parámetros delsistema.

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo de elemento Elemento físico Inductancia eléctrica Resorte traslacional Ecuación representativa Símbolo

I n d u c t a n c i a

di v21 = L dt 1 df v21 = k dt 1 dT ω21 = k dt

i

L
v2

v1

f
v1 v2

f

Resorte rotacional

ω1
T1 T2

ω2

La función de transferencia
Resumen de las leyes deelementos
Capacitancia eléctrica

dv21 i=C dt
f =m dv dt

i

v1

C

v2 m v

C a p a c i t a n c i a

Masa

f

Inercia

dω T= j dt dp21 dt dT dt

Tω
j

Capacitancia fluídica

p2 q1 Cf
q T

q21 = C f

p1

q2

Capacitancia térmica

q = Ct

Ct

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Resistencia eléctrica

1 i = v21 R f f = bv

i

v1R
b v21
T

v2 f

R e s i s t e n c i a

Amortiguador traslacional Amortiguador rotacional

T = bω 21

T
b

ω1

ω2
q

Resistencia fluídica

q=

1 p21 Rf T1

p1 Rf

p2

Resistencia térmica

1 q = T21 Rt

q
Rt
T2

Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por mediosdiagramáticos. Diagrama a bloques Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés. Consideraciones: • Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema. • Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. •...