Teeorema de Moivre

Sustituyendo i 2 por su equivalente -1, nos queda:

TEOREMA DE MOIVRE
Algebra Lineal

z1 r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) (cos θ 2 − i sin θ 2 ) r1 (cosθ1 cos θ 2 − cosθ1i sin θ 2 + i sin θ1 cosθ 2 − (−1)sin θ1 sin θ 2 )
=
•
=
z 2 r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) (cos θ 2 − i sin θ 2 ) cos θ 2 cosθ 2 − cosθ 2i sin θ 2 + i sin θ 2 cosθ 2 − (− 1)sin θ 2 sin θ 2

MULTIPLICACION

Haciendo multiplicaciónde los signos en la sustitución obtenemos:

z1 .z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )

z1 r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) (cosθ 2 − i sin θ 2 ) r1 (cosθ1 cosθ 2 − cosθ1i sin θ 2 + i sinθ1 cos θ 2 + sin θ1 sin θ 2 )
=
•
=
z 2 r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) (cosθ 2 − i sin θ 2 ) cosθ 2 cos θ 2 − cosθ 2i sin θ 2 + i sin θ 2 cosθ 2 + sin θ 2 sin θ 2

se _ hace _ la _ multiplica ción _de _ los _ binomios _( senos _ y _ cos enos )
donde _ quede _ i 2 _ sustituirl e _ por _ su _ equivcalente _( −1).

Reagrupando términos y eliminando los términos iguales de signos contrarios en eldenominador:
z1 .z 2 = r1 r2 (cos θ 1 cos θ 2 + cos θ 1i sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 )

z1 r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) (cos θ 2 − i sin θ 2 ) r1 (cosθ1 cosθ 2 + sin θ1 sin θ 2 − cosθ1i sin θ 2 + i sin θ1 cosθ 2 )
=
•
=
cosθ 2 cos θ 2 + sin θ 2 sin θ 2
z 2 r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) (cos θ 2 − i sin θ 2 )

reagrupamo s _ tér min os , _ reales _ con _ reales _ e _ imaginario s_ con _ imaginario s

z1 r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) (cos θ 2 − i sin θ 2 ) r1 (cosθ1 cosθ 2 + sin θ1 sin θ 2 − cos θ1i sin θ 2 + i sin θ1 cosθ 2 )
=
•
=
cos 2 θ 2 + sin 2 θ 2
z 2 r2 (cos θ 2 + isin θ 2 ) (cos θ 2 − i sin θ 2 )

z1 .z 2 = r1 r2 (cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 + cos θ 1i sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 )
aplicando _ las _ siguientes _ identidade s _ trigonomet ricasAplicar las siguientes identidades trigonométricas
cos (θ 1 + θ 2 ) = cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2

sen (θ 1 + θ 2 ) = cos θ 1i sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2

En el numerador.
cos(θ1 − θ 2 ) =...