Moivre

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Estafórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parteizquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede serutilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.
Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió queya conocía dicha fórmula desde 1676.
Contenido[ocultar] * 1 Obtención * 2 Derivaciones * 3 Demostración por inducción * 4 Generalización * 5 Aplicaciones * 5.1 Potencia * 5.2Raices * 6 Véase también |
Obtención
La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler,
.Derivaciones
Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

Si hacemos que x = π entonces tenemos la fórmula de Euler:

Es decir:

Además como tenemos estas dos igualdades:

podemos deducir lo siguiente:Demostración por inducción
Consideramos tres casos.
Para n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimosque el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdaderopara n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.
Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que cos(0x) +...