Tema De Reimen

Tema 9b: Integral de Riemann
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1.1

Integrales definidas
Integral y propiedades

Los conceptos de integral y de función integrable (en el sentido de Riemann) son un poco complejos y no lo vamos a tratar con mucho rigor. Expongamos aquí una idea intuitiva del concepto: Dada una función (en principio) positiva f : [a, b] → R pretendemos analizar el área A del recinto limitado por la curva y =f (x) (y el eje OX) en el intervalo de definición [a, b]. Tomamos una ”partición” del intervalo. Esto consiste en un conjunto finito ordenado {a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b} de puntos de [a, b]. En cada subintervalo del tipo [xi , xi+1 ] se pueden construir dos tipos de rectángulos que tengan como base la longitud del subintervalo mencionado y con alturas, respectivamente, el mínimo mi yel máximo Mi absolutos de la función en [xi , xi+1 ]. Las áreas de estos rectángulos valdrían, respectivamente, [xi , xi+1 ] · mi y [xi , xi+1 ] · Mi y serían menor o igual y mayor o igual, respectivamente, que el área que la curva y = f (x) encierra en dicho subintervalo. Esto puede hacerse en todos los subintervalos: en [x0 , x1 ], en [x1 , x2 ], ... y en [xn−1 , xn ]. Puede observarse que lasuma de las áreas de los rectángulos pequeños (sumas inferiores) siempre va a ser menor o igual que el área A y que la suma de las áreas de los rectángulos grandes (sumas superiores) siempre va a ser mayor o igual que A. Pues bien, sin entrar en muchos detalles rigurosos, podríamos decir que cuando f es una función integrable las sumas inferiores y las sumas superiores se acercan cada vez más entanto en cuanto la partición aumenta en número de puntos y la longitud de los subintervalos decrece, tanto que ambas sumas tienen el mismo límite, que a la postre será la integral, el área, cuando el número de puntos de la partición tiende a infinito y la longitud de los subintervalos tiende a 0. Vamos a manejar el valor de las integrales de funciones sin fijarnos demasiado en esta pseudodefiniciónteórica que hemos visto, ni preocuparnos por qué tales funciones son integrables. De hecho, ver de forma directa si una función es integrable o no en un intervalo puede ser un problema bastante difícil, según el caso. De todos modos no va a ser de gran interés para nosotros resolver este problema. Hay una clase muy amplia de funciones que son integrables, pues toda función continua en un intervalo esintegrable en dicho intervalo. Es más, la hipótesis de continuidad puede rebajarse un poco, pues si una función es continua en casi todos los puntos de un intervalo [a, b], excepto en 1

un número finito, en los cuáles existen los límites laterales de la función y son finitos, también la función es integrable en [a, b]. Cuando una función sea integrable en un intervalo [a, b] denominaremos integraldefinida (integral de Riemann, o simplemente integral) de f en dicho intervalo, y lo denotaremos por
b Z

f

o por

a

b Z

f (x)dx,

(o en vez de x otra variable),

a

a un número, que a la postre representará geométricamente el área A, y que en lo sucesivo iremos diciendo cómo calcular. Interpretación de la integral Vamos a relacionar esta parte con la pseudodefinición que hemosvisto antes. Recordemos pues b R que f (x)dx puede calcularse, de modo aproximado, tomando una partición adecuada del intervalo
a

{a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b}

y calculando la suma de las áreas de los rectángulos inferiores o superiores, anteriormente citados. Imaginemos dada una de esas particiones y dos puntos consecutivos xi y xi+1 . El área de los rectángulos mayor o menorcorrespondientes es muy próxima a f (xi ) · (xi+1 − xi ) que es el área de un rectángulo similar en el que la altura no es necesariamente la mínima ni la máxima, sino la del extremo izquierdo del intervalo [xi , xi+1 ]. Entonces el valor del área será muy próximo a la de la suma de todos los rectángulos así obtenidos. Pues bien, esta idea nos permite utilizar la integral para otros conceptos...