Tema3

´diz
Universidad de Ca
Departamento de Matem´aticas

´
MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´ecnicas

Tema 3
Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones

Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ıa Teresa Gonz´alez Montesinos

´Indice
1. Ecuaciones de primer grado
1.1. Ecuaciones e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ecuacionesequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una inc´
ognita . . . . . . . . .
1.4. Ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado
1.6. Problemas de primer grado con una inc´
ognita . . . . . . . . . . . . . .

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1
1
1
2
3
3
4

2. Ecuaciones de segundo grado
2.1. Resoluci´
on de la ecuaci´
on general. Soluciones . . . . .
2.2. Suma y producto de las ra´ıces. Forma can´
onica de una
2.3. Descomposici´
on en factores de un trinomio de segundo
2.4. Ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Resoluci´
onde ecuaciones irracionales . . . . . . . . . .

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ecuaci´
on
grado .
. . . . .
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. .
de
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segundo grado
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6
7
8
9
9

3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
3.1. Sistemas de primer grado con dos inc´
ognitas .
3.1.1. M´etodo de sustituci´
on . . . . . . . . .
3.1.2. M´etodode igualaci´
on . . . . . . . . .
3.1.3. M´etodo de reducci´
on . . . . . . . . . .
3.2. Sistemas de primer grado con tres inc´
ognitas

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11
11
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12
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4. Sistemas de ecuaciones de grado superior
4.1. Sistemas de segundo grado con dos inc´
ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Problemas con dos o m´
as inc´
ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Inecuaciones
5.1. Inecuaciones y desigualdades . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Sistemas de inecuaciones en una variable . . . . . . . .
5.4. Inecuaciones de segundo grado .. . . . . . . . . . . .
5.5. Inecuaciones polin´
omicas de grado superior al segundo
5.6. Inecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Soluciones reales de una ecuaci´on de segundo grado . .

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17
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6. Ejercicios propuestos

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Tema 3

1

1. Ecuaciones de primer grado
1.1. Ecuaciones eidentidades
En primer lugar, tenemos que distinguir la identidad de la ecuaci´
on propiamente dicha. Para m´
as
facilidad, consideremos las siguientes igualdades:
6(x − 3) = 6x − 18,

5x − 2 = 3(x + 4).

Estas dos igualdades tienen un comportamiento muy distinto cuando se sustituye la letra x en sus dos
miembros:
6(x − 3) 6x − 18 5x − 2 3(x + 4)
x=1
−12
−12
3
15
x=2
−6
−6
8
18
x=3
0
0
13
21
x=4
6
618
24
x=5
12
12
23
27
x=6
18
18
28
30
x=7
24
24
33
33
x=8
30
30
38
36
La primera igualdad se verifica para cualquier valor se d´e a x, mientras que la segunda s´
olo se verifica
para x = 7.
Diremos que la primera igualdad es una identidad, mientras que la segunda es una ecuaci´
on.
Definici´
on 1.1 Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de las letras
que la...