TEMA3

´
Algebra.
2004-2005. Ingenieros Industriales.
Departamento de Matem´
atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Tema 3.- N´
umeros Complejos.
Los n´
umeros complejos.
Operaciones.
Las ra´ıces de un polinomio real.
Aplicaciones geom´
etricas de los n´
umeros complejos: transformaciones en el plano.
Hist´
oricamente los n´
umeros complejos fueron introducidos para tratar ecuaciones polinomiales,tales como
x2 + 1 = 0, que no tienen soluci´
on real. En esta direcci´
on, el resultado principal de esta lecci´
on es el teorema
´
fundamental del Algebra
que asegura que toda ecuaci´
on polinomial con coeficientes complejos tiene, al menos,
una soluci´
on.
Previamente habremos definido el n´
umero complejo, sus operaciones m´
as importantes y la interpretaci´
on
geom´etrica de las mismas, cuyomanejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo.

1.

Los n´
umeros complejos.

Definici´
on. Un n´
umero complejo es un n´
umero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde i verifica que
i2 = −1 y a y b son n´
umeros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los n´
umeros reales a y b se conocen,
respectivamente, como parte real y parte imaginaria del n´
umero complejo z yse suele escribir
Re (z) = a as´ı como

Im (z) = b.

Dos n´
umeros complejos z y w son iguales si, y s´
olo si,
Re (z) = Re (w)

y

Im (z) = Im (w) .

Al conjunto de los n´
umeros complejos lo denotaremos por C, es decir,
C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .
Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente a para denotar a z, si a = 0 escribiremos bi para denotar a
z. En este u
´ltimo caso diremos que zes un n´
umero imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el n´
umero
real a con el n´
umero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los n´
umeros reales es
un subconjunto de los n´
umeros complejos.

2.

Operaciones.

2.1.

Suma

Dados dos n´
umeros complejos z = a + bi y w = c + di definimos la suma z + w as´ı:
z + w = (a + c) + (b + d) i.
Propiedades de lasuma. Si z, w, v ∈ C se verifica:
1. Conmutativa: z + w = w + z.
2. Asociativa: (z + w) + v = z + (w + v).
3. Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C.
4. Cada n´
umero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto −z = −a + (−b) i tal que z + (−z) = 0.
1

2.2.

Producto

Dados dos n´
umeros complejos z = a + bi y w = c + di se define el productozw as´ı:
zw = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Propiedades del producto. Si z, w, v ∈ C se verifica:
1. Conmutativa: zw = wz.
2. Asociativa: (zw) v = z (wv).
3. Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que z1 = 1z = z para todo z ∈ C.
4. Cada n´
umero complejo z = a + bi = 0 tiene un elemento inverso z −1 tal que zz −1 = z −1 z = 1. De hecho,
si z = a + bi = 0 se tiene que
a
−b
z −1 =2
+ 2
i.
a + b2
a + b2
Tambi´en se verifica una propiedad que relaciona la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma
z (w + v) = zw + zv.
El inverso de z lo representaremos por z −1 y por 1/z y
w
= w (1/z) = wz −1 .
z
Para obtener la parte real y la imaginaria en una divisi´
on de n´
umeros complejos podemos hacer lo siguiente.
Si z = a + bi = 0 y w = c + diw
c + di
−1
=
= (c + di) (a + bi) = (c + di)
z
a + bi

−b
a
+ 2
i
a2 + b 2
a + b2

=

(c + di) (a − bi)
.
a2 + b 2

De cualquier modo, tras estudiar la conjugaci´
on y el m´
odulo veremos otra t´ecnica m´
as eficiente para calcular el
inverso de un n´
umero complejo o dividir n´
umeros complejos.
Observaci´
on. No es posible establecer en el conjunto de los n´
umeros complejos una relaci´
on deorden que
verifique las mismas propiedades que verifica la relaci´
on de orden que conocemos entre los n´
umeros reales.

2.3.

Conjugado de un n´
umero complejo

umero a − bi.
Sea z = a + bi un n´
umero complejo. Se define el conjugado de z y se representa por z como el n´
Propiedades del conjugado de un n´
umero complejo.
z1 + z2 = z1 + z2 . (En general: z1 + z2 + · · · + zn = z1 + z2 + · · · +...