Tema34 1

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 34
ANÁLISIS Y FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
INTUITIVOS:
INCIDENCIA,
PARALELISMO,
PERPENDICULARIDAD,
ÁNGULO, ETC.

1.
2.
3.
4.
5.

Introducción.
Puntos, Rectas y Plano.
Propiedades de la división de conjuntos de puntos.
Axiomas y teoremas.
Intersecciones de conjuntos de puntos en el espacio.
5.1.
Intersección entre dos rectas.5.2.
Intersección entre dos planos.
5.3.
Intersección entre una recta y plano.
5.4.
Intersección entre tres planos.
6. Ángulos.
7. Medida y congruencia.
7.1.
Medida y congruencia de segmentos de recta.
7.2.
Medida y congruencia de ángulos.
8. Perpendicularidad.
9. Pruebas de paralelismo
Bibliografía Recomendada

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TEMA 34
ANÁLISIS Y FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
INTUITIVOS:INCIDENCIA,
PARALELISMO,
PERPENDICULARIDAD,
ÁNGULO, ETC.

1. INTRODUCCIÓN.
En geometría nos podemos permitir no definir determinados términos y poder
usarlos como primarios, es decir, tomarlos como si fuesen una base para definir otros.
Estos términos por ejemplo son los conceptos de punto, recta y plano.
Pero este concepto es totalmente moderno, pues Euclides si que intento definir estos
conceptosutilizando nomenclatura no geométrica. En el libro I de los Elementos de
Euclides, la definición 1 dice que: “Un punto es aquello que no tiene parte”, aunque esta
definición no deja totalmente claro lo que es un punto, pues salvo que tengamos una
idea intuitiva de lo que es un punto esta definición no nos lo aclararía.
La definición 2 dice que: “Una recta es longitud sin anchura”. Pero Euclides en
ningúnmomento definió lo que era longitud ni anchura.

2. PUNTOS, RECTAS Y PLANO.
Aunque los conceptos de punto, recta y plano son términos que quedarán
indefinidos, podemos intentar definir un punto de una manera intuitiva como una
localización en el espacio.
A los puntos normalmente los denotaremos por las letras P, Q, R, etc.
Igualmente podemos definir una recta, como una línea recta, es decir,aquella que se
prolonga infinitamente en cada dirección, o mejor dicho, en ambos sentidos.
Representaremos a la recta como una línea trazada en el papel con flechas en sus
extremos. Denotaremos a las rectas por L1 , L2 , etc.
Todos los conjuntos que hemos definido, al igual que cualquier conjunto en
geometría, son conjuntos de puntos. Esto nos permite identificar una recta mediante dos
puntos quepertenezcan a ellas, por eso si tenemos una recta L, y dos puntos P y Q que
pertenezcan a ella, podemos representar a L, como PQ.
Podemos definir un Plano, de manera intuitiva, como una superficie plana que se
extiende hacia el infinito y en todas las direcciones. Para representar al plano
utilizaremos letras griegas como Π, Σ , etc.
Por último definiremos el espacio como el conjunto de todos lospuntos, siendo el
plano y la recta subconjuntos del espacio, y el punto son los elementos del espacio.

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3. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE CONJUNTOS DE PUNTOS.
Dada una recta L y un punto P que pertenece a dicha recta se dice que P divide a L
en tres partes, una de ellas es el propio punto P y los otros dos subconjuntos los
llamaremos semirrectas y contienen cada uno a todos los puntos que estána cada lado
del punto P. Si formamos un subconjunto en el que incluimos una semirrecta y el punto
P tenemos lo que llamaremos un rayo, siendo P el llamado punto extremo del rayo.
Si tenemos dos rayos que verifican que su unión es una recta y que tiene en común
un punto (el punto extremo de cada rayo) entonces tenemos lo que llamaremos rayos
opuestos.
Dada una recta L y dados dos puntos P y Q de larecta L, definiremos un segmento
como el subconjunto de la recta L formado por todos los puntos que se encuentran entre
P y Q. Denotaremos el segmento formado por todos los puntos que hay entre P y Q por
PQ , y este segmento lo podemos considerar como la intersección de los dos rayos.
Análogamente a la idea de que un punto divide a una recta en tres partes iguales,
podemos decir que una recta...