Tema4

´ A LA PROBABILIDAD
ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCION
Doble Grado en Ingenier´ıa Inform´atica y Matem´aticas

Tema 4
Probabilidad condicionada: teoremas b´
asicos.
Independencia de sucesos
1. Probabilidad condicionada. Espacio de probabilidad condicionado
La probabilidad condicionada es uno de los conceptos clave en Teor´ıa de la Probabilidad.
En el tema anterior se ha introducido elconcepto de probabilidad considerando que la u
´nica
informaci´on sobre el experimento era el espacio muestral. Sin embargo, hay situaciones en las
que se incorpora informaci´on suplementaria como puede ser que ha ocurrido otro suceso, con
lo que puede variar el espacio de resultados posibles y consecuentemente, sus probabilidades.
En este contexto aparece el concepto de probabilidad condicionada.
Elobjetivo es analizar c´omo afecta el conocimiento de la realizaci´on de un determinado
suceso a la probabilidad de que ocurra cualquier otro.
La probabilidad condicionada tiene una clara interpretaci´on en espacios muestrales finitos
en los que puede aplicarse la regla de Laplace.
Definici´
on.- Sea (Ω, A, P ) un espacio probabil´ıstico arbitrario y A un suceso (A ∈ A) tal que
P (A) > 0. Paracualquier otro suceso B ∈ A, se define la probabilidad condicionada de B
dado A o probabilidad de B condicionada a A como
P (B/A) =

P (B ∩ A)
.
P (A)

Observemos que la condici´on P (A) > 0 es necesaria para que la definici´on tenga sentido.
Por otra parte, la idea intuitiva de probabilidad condicionada hace l´ogica esta restricci´on ya
que si P (A) = 0, A es un suceso imposible y no tiene sentidocondicionar a ´el.
Notemos que, sabiendo que A ∈ A ha ocurrido, tenemos una nueva evaluaci´on de la probabilidad de cada suceso (P (B) −→ P (B/A)), o sea, tenemos una nueva funci´on de conjunto
sobre (Ω, A). Probamos a continuaci´on que, efectivamente, esta funci´on es una medida de probabilidad sobre (Ω, A)
Teorema 1
Sea (Ω, A, P ) un espacio probabil´ıstico y sea un suceso A ∈ A, tal que P (A) > 0.Entonces
(Ω, A, P (·/A)), en donde P (·/A) es la definida anteriormente, es un espacio probabil´ıstico.
Demostraci´on.- Basta probar que P (·/A) es una probabilidad. Evidentemente,
P (B/A) =

P (B ∩ A)
≥0
P (A)

∀B ∈ A.

Tambi´en,

Patricia Rom´an Rom´an

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P (Ω/A) =

P (Ω ∩ A)
P(A)
=
=1
P (A)
P (A)

Por u
´ltimo, si {An }n∈N es una colecci´on de conjuntos disjuntos de A, entonces
∞

P

An /A

=

P [(

n=1
∞
n=1

∞
n=1

An ) ∩ A]
P[
=
P (A)

P (An ∩ A)
=
P (A)

∞
n=1

(An ∩ A)]
=
P (A)

∞

P (An /A)
n=1

Nota: Al condicionar a un suceso A ∈ A, con P (A) > 0, los sucesos de inter´es en el experimento
son s´olo aquellos que tienen intersecci´on no vac´ıa con A, ya que si Bes tal que B ∩ A = ∅,
entonces P (B/A) = 0. Adem´as por la propia definici´on
∀B ∈ A, P (B/A) = P (B ∩ A/A)

O sea, en realidad, estamos haciendo una transformaci´on del espacio muestral, pasando de Ω a
A, ya que si A ha ocurrido, no puede haber ocurrido ning´
un resultado elemental de Ω que no
est´e en A.
Esto nos lleva a definir un nuevo espacio probabil´ıstico con espacio muestral A, comoprobamos
a continuaci´on, que se denomina espacio de probabilidad condicionado
Teorema 2
Sea (Ω, A, P ) un espacio probabil´ıstico y A ∈ A tal que P (A) > 0. Consideramos la clase de
conjuntos
AA = A ∩ A = {B ∩ A / B ∈ A} (⊂ P(A))
y la funci´on
PA : AA −→ R
Patricia Rom´an Rom´an

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dadapor PA (C) =

P (C)
que est´a bien definida ya que C ∈ A.
P (A)

Entonces
1. AA es una σ-´algebra contenida en A (con espacio total A).
2. PA es una medida de probabilidad sobre AA
En definitiva, (A, AA , PA ) es un espacio probabil´ıstico.
Demostraci´on
1) Evidentemente AA ⊂ A. Veamos que es una σ-´algebra:
1) Si C ∈ AA y si representamos por C ∗ el complementario de C en A y por C el...