Tema5

MÉTODOS MATEMÁTICOS
ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES
Profesora: Mª Cruz Boscá

TEMA 4: OPERADORES LINEALES
L1 ≡ ( L1 , ⋅ 1 )

Notación: sean

y

L2 ≡ ( L2 , ⋅ 2 ) dos

espacios normados; sea

T un

T : D(T1 ) < L1 → L 2 , de recorrido R(T ) < L2 ; sea L( L) el espacio lineal
constituido por todos los operadores T con dominio D (T ) = L y recorrido R (T ) < L , y sea
H un espacio deHilbert.
Lema: ∀D | D = H se tiene x, y = 0 ∀y ∈ D ⇒ x = 0 .
operador lineal

Lema: Dado T ∈ L( L) , L pre-Hilbert, k = ℂ ⇒ ( T = 0 ⇔ x, Tx = 0 ∀x ∈ L ) .
Lema: Dados Ti ∈ L( L), i = 1, 2 , L pre-Hilbert, k = ℂ ⇒

T1 = T2 ⇔

x, T1 x = x, T2 x

∀x ∈ L .

Aplicaciones lineales entre espacios lineales

T con dominio D(T ) y recorrido R(T ) ,
T : D(T ) ⊂ L1 → R (T ) ⊂ L2 , es aplicación lineal u operadorlineal del
espacio lineal L1 sobre el espacio lineal L2 , ambos sobre el cuerpo común
Λ , sii satisface:
a) D (T ) < L1
b) T es univaluada: ∀x ∈ D (T ) ∃! y ∈ R (T ) : T ( x ) = y (notación:
y = Tx ),
c) ∀x, y ∈ D (T ), ∀α , β ∈ Λ : T (α x + β y ) = α T ( x ) + β T ( y ) .
Una aplicación

Denominación: aplicación lineal

≡

operador lineal

≡

homomorfismo.

T con dominio D(T ) y recorrido R(T ) ,T : D(T ) ⊂ L1 → R (T ) ⊂ L2 , es aplicación antilineal u operador antilineal del
espacio lineal L1 sobre el espacio lineal L2 , ambos sobre el cuerpo común
Λ = ℂ , sii satisface:
Una aplicación

D(T ) < L1
b) T es univaluada: ∀x ∈ D (T ) ∃! y ∈ R (T ) : T ( x ) = y (notación:
y = Tx ),
c) ∀x, y ∈ D (T ), ∀α , β ∈ Λ : T (α x + β y ) = α * T ( x ) + β * T ( y ) .
a)

© M.C. Boscá, U. de Granada

1Propiedades:
Dada una aplicación lineal
a)

R(T ) < L2

T : D(T ) < L1 → R (T ) ⊂ L2 , se tiene:

c)

T (01 ) = 02 ( 0i es elemento neutro de la ley (+)
T (− x) = −T ( x) ∀x ∈ D(T )

d)

kerT= x ∈ D (T ) : Tx = 02 < L1

b)

{

}

en

L i , i = 1, 2 )

(núcleo o kernel del operador)

D ( T ) = L 1 y d i m L 1 es finita: dim D (T ) = dim ker T + dim R (T ) ,
denominándose nulidad de T a la dimkerT y rango de T a la dim R (T ) .

e) Si

Gráfico de un operador lineal
Dada una aplicación lineal T : D (T ) ⊂ L1 → R (T ) ⊂ L2 , se define su
gráfico Γ(T ) como
Γ(T ) = {( x1 , x2 ) ∈ L1 × L2 : x1 ∈ D(T ), x2 = Tx1 ∈ R(T )} ⊂ L1 × L2 .
Γ(T ) < L1 ⊕ L2
Teorema del gráfico: Un subespacio lineal Γ(T ) < L1 ⊕ L2 es gráfico
de algún operador lineal entre
es, si

Γ

corta al eje

L1

y

L2 ⇔

((01 , y) ∈Γ ⇒ y = 02 )

(esto

L2 , lo hace sólo en el origen).

Igualdad entre operadores lineales: Dados dos operadores lineales
y T2 , son iguales
⇔ Γ(T1 ) = Γ(T2 ) ⇔ D(T1 ) = D(T2 ) = D(T ) y

T1
T1 x = T2 x ∀x ∈ D(T ) .

Extensiones y restricciones: Dados dos operadores lineales

D(T1 ) ⊂ D(T2 ) y T1 x = T2 x ∀x ∈ D(T1 ) , entonces T2
extensión de T1 a D(T2 ) , y T1 es una restricción de T2 a D(T1 ).
tales que

T1

y

T2 ,

es una

Notación:

T2 ⊃ T1
T1 ⊂ T2

»»

T2

es una extensión de

T1 .

»»

T1

es una restricción de

T2 .

Operador lineal inverso
Dado un operador lineal T : D (T ) < L1 → R (T ) < L 2 la relación inversa T ( −1)
se define según:
T ( −1) : D (T ( −1) ) = R (T ) → R (T ( −1) ) = D(T ) tal que ∀y ∈ D (T −1 ) se tiene T ( −1) y = x
con x ∈ D (T ) y Tx = y .

© M.C. Boscá,U. de Granada

2

En general, T ( −1) no tiene por qué ser un operador (i.e.: no tiene por qué
ser univaluada).
Dado un operador lineal T : D (T ) < L1 → R (T ) < L 2 la relación inversa T ( −1)
es un operador lineal T −1 : D (T −1 ) = R (T ) < L2 → R (T −1 ) = D (T ) < L1 ⇔ T es un
operador inyectivo ⇔

ker T = {01} .

[ (Tx1 = Tx2 ) ⇒ x1 = x2 ] ⇔

[ Tx = 0 2 ⇒ x = 01 ], i.e.:

Dado un operadorlineal T : D (T ) < L1 → R (T ) < L 2 , T
operador no singular ⇔ ∃T

−1

se define como

operador lineal.

Dado un operador lineal T : D (T ) < L1 → R (T ) < L 2 no singular ⇒

∃ T −1T ≡ I D : D (T ) → D (T ) / T −1Tx = x ∀x ∈ D (T )
∃ TT −1 ≡ I R : R (T ) → R (T ) / TT −1 y = y ∀y ∈ R (T )
Dado un operador lineal T : D (T ) < L → R (T ) < L , T

se define como

⇔ D (T ) = R (T ) = L y T es no...