Tensiones en placa plana

INDICE 
  1. Descripción del estudio  2. Tensiones según solidwork  a. Matriz de tensiones  b. Matriz de tensiones principales  3. Deformaciones según solidworks simulation  a. Matriz de deformaciones  b. Matriz de tensiones principales  4. Relacionar tensor de tensión enejes globales y tensor de tensiones principales  5. Relacionar tensor de deformaciones en ejes globales y tensor de deformaciones. 

 

1.Descripción del estudio 
En este documento se ha realizado el estudio de las tensiones y deformaciones en una  placa  de  acero  inoxidable  recocido  AISI  201(figura  1)  con  modulo  elástico  2,07x1011  y  coeficiente  de  Poisson  0,27  mediante  el  empleo  de  un  programa  de  simulación  y  calculo  numérico, en este caso SOLIDWORKS.   

  Figura 1 2.Tensiones según solidwork   
ε x = 3,952 × 10 −6  
ε y = 9,816 × 10 −7  

ε z = 1,297 × 10 −6  

1 1 1 γ xy = 8,525 × 10 −9   γ xz = 3,744 × 10 −6   γ zy = 7,558 × 10 −9   2 2 2
  Matriz de tensiones   

⎛ σ nx τ xy τ xz ⎞ ⎛ 8,04282 ⋅ 105 ⎜ ⎟ ⎜ [T ] = ⎜ τ xy σ ny τ yz ⎟ = ⎜ − 6,948·10 2 ⎜τ ⎟ ⎜ 5 ⎝ xz τ yz σ nz ⎠ ⎝ 3,05083·10

− 6,948·10 2 1,146·10 2 − 6,159·10 2

3,05083·105 ⎞ ⎟ − 6,159·10 2 ⎟   −5,126·10 4 ⎟ ⎠

Matriz de tensiones principales 

[T ]I ,II ,III
 

⎛ 9,01930·10 5 0 ⎜ 0 1,147·10 2 =⎜ ⎜ 0 0 ⎝

⎞ 0 ⎟ 0 ⎟  5⎟ − 1,489084·10 ⎠

 

3. Deformaciones según solidworks simulation   
ε x = 3.952 ⋅ 10 −6  
 

ε y = 9.816 ⋅ 10 −7  

ε z = 1.297 ⋅ 10 −6   ε 3 = −1.896 ⋅ 10 −6  
1 γ yz = 7.558 ⋅ 10 −9   2

ε 1 = 4.551 ⋅ 10 −6  
 

ε 2 = −9.816 ⋅ 10 −7  
1 γ xz =3.744 ⋅ 10 −6   2

1 γ xy = 8.525 ⋅ 109   2
  Matriz de deformaciones 

⎡ −6 ⎢ 3.952 ⋅ 10 ⎢ [D] = ⎢ 1 8.525 ⋅10 −9 ⎢2 ⎢ 1 3.744 ⋅ 10 −6 ⎢2 ⎣

1 8.525 ⋅ 10 −9 2 9.816 ⋅ 10 −7 1 7.558 ⋅ 10 −9 2

1 ⎤ 3.744 ⋅ 10 −6 ⎥ 2 ⎥ 1 7.558 ⋅ 10 −9 ⎥   2 ⎥ −6 ⎥ 1.297 ⋅ 10 ⎥ ⎦

    Matriz deformaciones principales 

[D]I ,II ,III
   

⎡4.551 ⋅ 10 −6 ⎢ =⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

0 − 1.896 ⋅ 10 −6 0

⎤ ⎥ ⎥  −7 ⎥− 9.816 ⋅ 10 ⎦ 0 0

4. Relacionar  tensor  de  tensión  en  ejes  globales  y  tensor  de  tensiones  principales. Direcciones principales. 
         

r r [σ ] = [T ] ⋅ [u ]   r r [T − σ ⋅ I ]⋅ [u ] = 0  

    La ecuación de compatibilidad es:

σ nx − σ τ xy τ xz 8,04282 ⋅ 105 − σ − 6,948·10 2 τ xy σ ny − σ τ yz = − 6,948·10 2 1,146·10 2 − σ τ xz τ yz σ nz − σ 3,05083·10 5 − 6,159·10 2
            

3,05083·105 − 6,159·10 2 = 0 − 5,126·10 4 − σ

− σ 3 + I 1σ 2 − I 2σ 3 + I 3= 0  

Siendo:             

I 1= σ nx + σ ny + σ nz = 753165,61  
2 2 2 I 2= σ nx ⋅ σ ny + σ nz ⋅ σ ny + σ nzσ nx − τ xy − τ xz − τ zy = −1.342 × 1011  

I 3 = T = −1.536998 × 1013  

  Quedando la ecuación característica:      − σ 3 + 753165.61σ 2 + 1.342 × 1011σ 3 − 1.536998 × 1013 = 0    Por lo que las tensiones principales son:    σ 1 = 901937,5128  

σ 2 = 114,4495  

σ 3 = −148886,3524  

  Una vez conocida la matriz de tensiones principales, la tensión correspondiente será:     

r r [σ ] = [T ] ⋅ [u ]  

  Para ello debemos calcular las direcciones principales a partir de:     

r r [T − σ ⋅ I ]⋅ [u ] = 0  

⎡⎛ 8,04282 ⋅ 105 ⎢⎜ 2 ⎢⎜ − 6,948·10 5 ⎢⎜ ⎣⎝ 3,05083·10

−6,948·10 2 1,146·10 2 − 6,159·10 2

3,05083·105 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎤ ⎛ u1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ 2 − 6,159·10 ⎟ − σ ⎜ 0 1 0 ⎟⎥ ⋅ ⎜ u2 ⎟ = 0   ⎜ 0 0 1 ⎟⎥ ⎜ u ⎟ − 5,126·10 4 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎠

  De donde para cada tensión principal se obtiene su dirección.    Para  σ 1 = 901937,5128  

⎡⎛ 8,04282 ⋅ 105 ⎢⎜   ⎢⎜ − 6,948·10 2 ⎢⎜ 3,05083·105 ⎣⎝

3,05083·105 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎤ ⎛ u11 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ − 6,159·10 2 ⎟ − σ 1 ⎜ 0 10 ⎟⎥ ⋅ ⎜ u12 ⎟ = 0   ⎜ 0 0 1 ⎟⎥ ⎜ u ⎟ − 5,126·10 4 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ 13 ⎠ ⎠   Dirección principal para σ 1   ⇒u1 (u11 ,u12 ,u13 )   − 6,948·10 2 1,146·10 2 − 6,159·10 2
u11 = 0.952349  
  Para  σ 2 = 114.4495  

u12 = −10,9 × 10 −3  

u13 = 0,3048127  

3,05083·105 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎤ ⎛ u 21 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ 2 − 6,159·10 ⎟ − σ 2 ⎜ 0 1 0 ⎟⎥ ⋅ ⎜ u22 ⎟ = 0   ⎜ 0 0 1 ⎟⎥ ⎜ u ⎟ − 5,126·10 4 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ 23 ⎠ ⎠...