Tensores

ANÁLISIS TENSORIAL

CONCEPTOS BÁSICOS
 

NOTACIÓN DE ÍNDICES

S = ∑ a k xk = ∑ a k x
k =1 k =1

n

n

k

2

CONCEPTOS BÁSICOS
" NOTACIÓN DE EINSTEIN

S = ak x = ai x

k

i

.

3

EJEMPLO
" DIFERENCIAL TOTAL
f = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∂f ∂f ∂f 1 2 n df = 1 dx + 2 dx + ... + n dx ∂x ∂x ∂x ∂f df = α dxα ∂x df ∂f dxα = α dt ∂x dt
4

⇒
.

EJEMPLO
S = gαβxα x β α,β = 1,2 ,3

S = g11 x1 x1 + g12 x1 x 2 + ... + g 33 x 3 x 3 ⎡ g11 g = ⎢ g 21 ⎢ ⎢ g 31 ⎣ g12 g 22 g 32
.

g13 ⎤ g 23 ⎥ ⎥ g 33 ⎥ ⎦
5

DELTA DE KRONECKER
⎧1 i = j δ i = ⎨ ⎩0 i ≠ j
j

δ = δ = ... = δ = 1 δ = δ + δ + ... + δ = n
α α
. 6

1 1

2 2

n n

1 1

2 2

n n

EJEMPLO
" Si x1, x2, . . . , xn son variables
independientes

∂x i =δ j j ∂x

i.

7

EJERCICIOS
" Sea

S = ai x

i

" Calcular

∂S β ∂x

.

8

EJERCICIO
" Desarrollar

aα x = b
α

i

i

α , i = 1,2,3

.

9

DELTA DE KRONECKER GENERALIZADA
num.par permutaciones ⎧ ⎪ 1 ordenar índices ⎪ ir = it ó j p = jq ó ⎪ = ⎨ 0 {ik }∩ { jk } = ∅ ⎪ ⎪− 1 num. impar permutaciones ⎪ ⎩
. 10

δ

i1i2 ...in j1 j2 ... jn

EJEMPLO
δ δ
123123

= 1, δ = 1,

123 213

= −1, =0

δ

123 221

=0

123 231

δ

312 323

.

11

EJERCICIO
" Mostrar que

δ ij

αβ

∂φα ∂φi ∂φ j = j− i β ∂x ∂x ∂x

.

12

ÉPSILON DE LEVI-CIVITA

ε

i1i2 ...in

=δ

i1i2 ...in 12...n

ε i i ...i = δ
12 n
.

12...n i1i2 ...in
13

EJEMPLO
a a
1 1 2 1

a a

1 2 2 2

= a a −a a

1 1

2 2

2 1

12

= δ a a +δ a a = ε a a = ε ij a a
.

12 1 12 1 ij 1 i

2 2

12 2 21 1 i 1

1 2

2 j

j 2
14

EJERCICIO
" Mostrar que

a a a

1 1 2 1 3 1

a a a

1 2 2 2 3 2

a ijk 1 2 3 a = ε ai a j ak a
. 15

1 3 2 3 3 3

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

" Una Transformación de Coordenadas de las
variables x a las variables y está dada por el conjunto de ecuaciones

y i= y i ( x1 , x 2 ,..., x n ),

i = 1,2,..., n

.

16

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

" Si suponemos que la transformación es
invertible (Jacobiano diferente de cero), podemos resolver para las x

x i = xi ( y1 , y 2 ,..., y n ),

i = 1,2,..., n

.

17

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
" Elemento de línea

(ds ) 2 = gαβ dxα dx β

" Tensor métrico

gαβ

∂x ∂x = δ ij α β∂y ∂y

i

j

.

18

EJEMPLO
" Sea T un vector en el sistema de coordenadas X

T i = ( x 2 , x1 )
" Calcular sus coordenadas en el sistema Y si

T = ( y , y ) = (( x ) , x x )

i

1

2

2 2

1 2

.

19

EJEMPLO
" La matriz de la transformación es

⎡ ∂y1 ⎢ 1 J = ⎢ ∂x2 ⎢ ∂y ⎢ ∂x1 ⎣

∂y ⎤ 2 ⎥ ∂x ⎥ = ⎡ 0 ⎢ 2 2 ∂y ⎥ ⎣ x 2 ∂x ⎥ ⎦
.

1

2 x ⎤ 1 ⎥x ⎦

2

20

EJEMPLO
" Entonces las componentes de T en el
nuevo sistema son
∂y 1 ∂y 2 ∂y T =T =T +T r 1 ∂x ∂x ∂x 2
i r i i i

⎡ T1 ⎤ ⎡T 1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ = JT = J ⎢ 2 ⎥ ⎢T ⎥ ⎣T ⎦ ⎣ ⎦
. 21

EJEMPLO
" Es decir,

T = T (0) + T (2 x ) = x (2 x ) T = T (x ) + T (x ) = (x ) + (x )
2 1 2 2 1 2 2 1 2

1

1

2

2

1

2

.

22

VECTOR TANGENTE
" Una curva enel espacio n-dimensional está
dada por las ecuaciones

x = x (t ),
a la curva son

i

i

i = 1,2,..., n; t0 < t < t1

" Entonces, las componentes del Vector Tangente

dx i , dt

i = 1,2,..., n; t0 < t < t1
. 23

VECTOR TANGENTE
" Considerando la transformación de
coordenadas

y = y ( x , x ,..., x ),
a la curva serían

i

i

1

2

n

i = 1,2,..., n

"Entonces, las componentes del Vector Tangente

dy i ∂y i dxα = α , dt ∂x dt
.

i = 1,2,..., n; t0 < t < t1
24

VECTOR CONTRAVARIANTE
" Es decir, las nuevas componentes se obtienen
multiplicando las componentes originales por la derivada parcial de las nuevas variables respecto de las variables originales.

" Ésta es la Ley Contravariante de
transformación. El vector Tangente es un...