Teoemas infinito

Asignatura: C´lculo Diferencial e integral a
Teoremas sobre Limites infinitos y al infinito. Tema: L´ ımites y continuidad de Funciones en R Octubre, 2010 TEOREMAS SOBRE LIMITES INFINITOS.

•Teorema 01. Si n es cualquier entero positivo (n ∈ Z+ ), entonces: 1 = +∞ x→0 xn 1 2. lim n = +∞, cuando n es par. x→0− x 1 3. lim− n = −∞. cuando n es impar x→0 x 1. lim+ Actividad: Gr´ficar las siguientesfunciones: a o cuando x → 0− .
1 1 1 1 x , x2 , x3 , x4 ,

observe como tiende la funci´n cuando x → 0+ o

• TEOREMA 02. Si c es cualquier n´mero real y los limites de las funciones f (x) y g(x)est´n dados por: u a lim f (x) = 0 y lim g(x) = c, con c = 0, entonces:
x→a x→a

1. lim 2. lim

x→a

g(x) = +∞, c > 0 y f (x) → 0+ . f (x)

g(x) = −∞, c > 0 y f (x) → 0− . x→a f (x) g(x) 3.lim = −∞, c < 0 y f (x) → 0+ . x→a f (x) 4. lim
x→a

g(x) = +∞, c < 0 y f (x) → 0− . f (x)

Ejemplo: lim 2x 4 = . x−2 0

x→2

Como x − 2 puede aproximarse a cero a trav´s de valores positivosy negativos, entonces: e 1

1. lim+

2x , x → 2+ =⇒ x − 2 → 0+ x→2 x − 2 2x +4 Entonces: lim = + → +∞. x→2 x − 2 0 2x , x → 2− =⇒ x − 2 → 0− x−2 2x +4 Entonces: lim = − → −∞. x→2 x − 2 0 2x , noexiste (los limites por la izquierda y por la derecha son diferentes). x−2

2. lim−
x→2

Por lo tanto lim

x→2

• TEOREMA 03. Sean f y g dos funciones con dominio D1 y D2 respectivamente. Silim f (x) = c y
x→a

lim g(x) = +∞. entonces: 1. lim [f (x) + g(x)] = +∞
x→a x→a

x→a

2. lim [f (x) · g(x)] = +∞, si c > 0 3. lim [f (x) + g(x)] = −∞, si c < 0
x→a

4. lim

x→a

f (x)= 0. g(x)

Ejemplos: 6 (2x − 4)2 Primero se obtienen los limites de cada factor de la suma, a saber,
x→2

1. lim 5x +

(a) lim 5x = 10
x→2 x→2

4 6 = + → +∞, este ultimo resultado se obtieneaplicando el TEOREMA 02, donde ´ (2x − 4)2 0 2 + (2x + 4) → 0 , cuando x → 2 6 Luego, lim 5x + = 10 + (+∞) = +∞ x→2 (2x − 4)2 2−x 2. lim + x→−3 (x − 3)2 Resolviendo: (b) lim 2−x (x − 3)2 1 (x − 3)...