Teoría De Anillos

Teoría de anillos: Introducción
Eugenio Miranda Palacios
20 de febrero de 2012

1. Teoría de estructura de anillos
Por el teorema de Artin-Wedderburn, cualquier anillo (con unidad) simple
que tenga un ideal por la izquierda minimal no nulo es isomorfo a M n (D )
donde D es un anillo de división.
La teoría de estructura general empieza con el teorema de densidad de Jacobson que generalizael teorema de Artin-Wedderburn a la clase de anillos primitivos.
Utilizando productos subdirectos podemos pasar a anillos semiprimitivos.
El paso de anillos semiprimitivos a anillos arbitrarios nos lleva a estudiar
diversos radicales, que son ideales definidos de forma intrínseca tales que
los anillo que tienen radical cero son mucho mas fáciles de analizar. Así
que el radical es la“obstrucción” en la teoría de estructura.
En la teoría de estructura general existen varios radicales que consideramos en orden descendente:
• El mayor es el radical de Jacobson denotado por J (R ), que es cero si
y sólo si el anillo R es semiprimitivo.
• Ya que J (R ) con frecuencia no es nulo, consideramos diversos nilradicales, llamados así porque sus elementos son nilpotentes. El mayor nilradical sellama nilradical superior y se representa por N i l (R ).
• El menor nilradical se llama radical primo o nilradical inferior y es
la intersección de todos los ideales primos del anillo R .
Un anillo se llama semiprimo si y sólo si su nilradical inferior es cero.
En el caso clásico de álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo, los
anillos semiprimitivos son los anillos artinianos semisimples ytodos los
radicales coinciden.
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1 TEORÍA DE ESTRUCTURA DE ANILLOS
• Pero aún en este caso la estructura interna del radical es extremadamente complicada. Con frecuencia el radical se considera un estorbo que hay que quitar en cuanto se pueda.
• Por ello adquieren especial importancia los diversos teoremas de estructura que nos permiten “comprimir” el radical. El mas destacable es elteorema de Amitsur que dice que si N i l (R ) = 0, entonces
J (R [ X ]) = 0, donde X es una indeterminada que conmuta con todos
los elementos de R .
Ciertas clases de anillo son particularmente dóciles para la teoría de estructura:
• Si un anillo R es artiniano, entonces J (R ) es nilpotente y R / J (R ) es
artiniano semisimple.
• Además en este caso podemos “levantar” los idempotentes de R/ J (R )
a R para obtener información mas explícita sobre R .
Una de las principales clases de anillos no conmutativos son los anillos
noetherianos, para los que N i l (R ) es nilpotente.
• Para anillos noetherianos semiprimos tenemos el teorema de Goldie muestra que existe el anillo de fracciones clásico y que es artiniano semisimple. Este resultado permite disponer del teorema
deWedderburn-Artin y redondea la teoría de estructura de ArtinNoether-Jacobson-Levitzki-Amitsur-Goldie.
• El teorema de Goldie se aplica también a anillos primos con identidades polinómicas.
• El concepto de anillo de fracciones se ha generalizado a clases de
anillo mas amplias.
Como la teoría de estructura gira sobre a los conceptos de anillo primitivo y anillo primo, nos interesamos en los conjuntos deideales primitivos
y de ideales primos de una anillo R . Estos conjuntos se llaman espectro
primitivo y espectro primo de R y tiene una geometría de un interés considerable.
Ya que cualquier anillo es imagen homomorfa de un anillo libre, la escuela de Cohn-Bergman ha investigado los anillos libres por su interés
intrínseco. Tal estudio presenta una gran dificultad porque la teoría de
anilloslibres necesariamente incluye toda la teoría de anillos.

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En ocasiones queremos considerar anillo con un poco mas de estructura:
La involución, que generaliza la transposición de matrices. La teoría de
estructura se transporta con mucha facilidad a anillo con involución, con
conceptos involutorios análogos a las diversas nociones estructurales.

2. Teoría de estructura de módulos...