Teoría De Conjuntos

Teoría de conjuntos
1) Concepto básico y simbología

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan algunacaracterística en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
Simbología de conjuntos
Simbología de ConjuntosSímbolo
Descripción
{}
conjunto
∈
Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉
No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
⎜
Tal que.
n (C)
Cardinalidad del conjunto C.
U
Conjunto Universo.
Φ
Conjunto Vacío.
⊆
Subconjunto de.
⊂
Subconjunto propio de.
⊄
No es subconjunto propio de.
>
Mayor que.
<
Menor que.
≥
Mayor o igual que.
≤
Menor o igual que.
∩
Intersección de conjuntos.
∪Unión de Conjuntos.
A'
Complemento del conjunto A.
=
Simbolo de igualdad.
≠
No es igual a.
...
El conjunto continúa.
==>
Entonces.
⇔
Si y sólo si.
∼
No (es falso que).
∧
Y
∨
O

2) Relaciones y conjuntos
Relaciones entre conjuntos
Parejas ordenadas
El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:
{3, 5} = {5, 3}
Por otra parte, una pareja ordenada consiste en doselementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llamaproducto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
Elproducto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra acontinuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.








Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntosen el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.






Para comprender las relaciones entre los conjuntos, debes comprender primero como se relacionan estos con los elementos.
Relación depertenencia
Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto.

Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Venn dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto. Ahora...