Teoría de Números

TEORÍA DE NÚMEROS

INTRODUCCIÓN
La teoría de números se resume en estudiar las propiedades de los números, los enteros en gran parte. Estas propiedades son del estilo: números primos, representaciones de números como sumas de otros, números irracionales, números trascendentes…
Teoría de números es una rama de las matemáticas que se sub-clasifica en muchas:
Teoría analítica de númerosTeoría algebraica de números
Teoría combinatoria de números
Teoría computacional de números
Y más (Formas modulares, aritmética de números, geometría de números…).
Los griegos trataron problemas relacionados con el tema, como las soluciones enteras a ecuaciones lineales con dos incógnitas. Conforme a como avanzaba el tiempo y las épocas surgían nuevos problemas; Pitágoras al aplicar el ‘teorema dePitágoras’ al triángulo con catetos iguales a uno, supo que la hipotenusa no tenía un tamaño entero, Arquímedes notó que la razón del perímetro del círculo y el diámetro era constante, , el problema vino al querer saber si era racional…
El componente principal en la teoría de números, son los números primos.
Un número se dice primo si es diferente de uno y sus únicos divisores son uno y él mismo.Los números primos forman el componente principal en el estudio de los números enteros, todo esto por el teorema fundamental de la aritmética
Todo número entero positivo se factoriza de manera única en el producto de potencias de números primos
Y como es de esperarse…
Existen infinitos números primos
Esto hace parte de algo que se llama teoría elemental de números. Los grandes avances se vencuando se logra relacionar estos conceptos con otras ramas, como el análisis real y complejo, el álgebra, teoría ergódica, geometría, topología, combinatoria, probabilidad, etc. Todo esto logra enriquecer la materia, dándole herramientas para su búsqueda de propiedades y logrando avances significativos. Dirichlet y Euler hicieron un punto de quiebre en la forma en cómo se estudiaba la teoría denúmeros. Euler con su refutable fórmula.

Y su afirmación

En sentido de que la suma de los inversos de los primos diverge como el logaritmo del logaritmo. Dirichlet, con su brillante teorema, más importante es la forma en la cual lo prueba,
Si  y  son primos relativos entonces la progresión aritmética  tiene infinitos primos
Fueron los que mostraron una luz de lo que hoy se denomina teoríaanalítica de números. Sin embargo, la gama de resultados acerca de teoría de números usando estas herramientas es amplia.
Si bien es importante conocer de dónde surge la teoría de números, más interesante es ver qué propone, ver a fondo las preguntas que trata y las soluciones que logra.


NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son el ingrediente principal en teoría de números. En esta sección,establecemos brevemente la notación y el significado de algunos símbolos que se relacionan con los enteros y que serán de amplio uso en el texto. Además se establecen algunos principios que se usan ampliamente en los argumentos.
En lo que sigue, usaremos la siguiente notación
a.) N= f0, 1, 2, ...g y N+ = f1, 2, ...g.
b.) Z+ = f1, 2, ...g =N+
c.) R+ = fx 2 R : x > 0g.
Principio del Buen Orden:Todo conjunto no vacío de números naturales contiene un elemento mínimo.
En particular, si S C Z y si S tiene al menos un elemento positivo, entonces S tiene un entero positivo mínimo.

Principio del palomar: Si k es un entero positivo y k+1 o más objetos son asignados a k cajas, entonces hay al menos alguna caja a la que se le asignaron dos o más objetos.

Ej: En un grupo de 367 personas,debe haber al menos dos que cumplen años el mismo día, porque hay solo 366 posibles días para cumplir años.

Principio de Inclusión-Exclusión: Sean A y B dos conjuntos finitos. Entonces:




Principio de Inducción: Para probar que una proposición P(n) es verdadera para todo entero positivo n, se deben ejecutar los dos pasos siguientes:
a.) Verificar que P(n) se cumple para n = 1,
b.)...