Teoría del Error

Metodos Numéricos y Teoría del Error
En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un métodonumérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.
EL COMPUTADOR Y SU ARITMETICA
El sistema numérico con el cual estamos familiarizados es el decimal. Las computadoras, en su mayoría, utilizan en sistema numérico binario, esto se debe principalmente a que este sistema solamente utiliza dos dígitos para la representación delos números. Esta afirmación puede parecer extraña dado que nosotros nos comunicamos, con la computadora en base 10, ingresamos la información en esta base y a su vez la computadora nos responde en la misma base. ¿Esta situación cómo se explica?. Al recibir la información, la computadora convierte nuestra entrada a base dos (quizás a otras bases como octal, hexadecimal) y en esa base ejecuta lasoperaciones. Finalmente convierte los datos obtenidos a base 10 y esta es la información que nos entrega. Este proceso de conversión de una base a otra tiene varios problemas, algunos de los cuales serán analizados en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1: Calcular en una máquina cuya capacidad es de 8 dígitos. La respuesta que dará es 9999,9945. El valor exacto de esta suma es 10,000. Para entender quéocurrió en este proceso y en general en todos los procesos que ejecuta la máquina, es necesario comprender cómo se almacenan los números en la computadora y cómo se realizan los cálculos numéricos.
DEFINICIONES
Instrumento de medida: dispositivo empleado para determinar el valor o la magnitud de una cantidad o variable.
Exactitud: la cercanía con la cual la lectura de un instrumento de medida seaproxima al valor verdadero de la variable medida.
Precisión: una medida de la repetibilidad de las mediciones. Dado un valor fijo de una variable, la precisión es la medida del grado con el cual, mediciones sucesivas difieren una de la otra.
Incertidumbre: grado de exactitud, seguridad o confianza con que fue hecha la medición.
Error: la desviación del valor verdadero al valor medido.
La diferenciaentre exactitud y precisión puede aclararse con el siguiente ejemplo. Consideremos un reloj que además de no marcar la hora oficial, cada hora se adelanta 3 minutos con relación a ésta. Este es un instrumento que no es ni preciso ni exacto. Ahora, un reloj que ni se adelanta ni se atrasa, pero con respecto a la hora oficial tiene una diferencia constante de 5 minutos. Este es un instrumentopreciso pero no es exacto.
Por último consideremos un reloj que ni se atrasa ni se adelanta y además marca la hora oficial. Este es un instrumento preciso y exacto.
1. Errores inherentes
Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condicionesde realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional como pi o raíz cuadrada de dos.
2. Errores de truncamiento
Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la soluciónanalítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento....