Teorema caley

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TEOREMA DE CALEY – HAMILTON
Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p(λ) = 0 es la ecuaciσn característica de A, entonces p(λ) = 0 .
Demostración: Se tienea11 – λ a12 … a1n
a21 a22 – λ … a2n
p(λ) = det ( A - λ I ) =
an1 an2 … amn – λ
Es claro cualquier cofactor de ( A – λI ) es un polinomio en λ. Asν, la adjunta de A – λI es una matriz de n x n en laque cada componente es un polinomio de λ. Es decir,
p11(λ) p12(λ) …. p1n(λ)
p21(λ) p22(λ) …. p2n(λ)
adj ( A – λI ) =
pn1(λ) pn2(λ) …. Pnn(λ)
Esto significa que se puede expresar en adj ( A – λI) como en un polinomio, Q(λ), en λ cuyos coeficientes son matrices n x n. Para entender esto, se ve lo siguiente:
-λ2 - 2λ + 1 2 λ2 - 7 λ - 4 = −1 2 λ2 + −2 −7 λ + 1 −4
4λ2 + 5λ - 2 −3 λ2 - λ + 3 4−3 5 −1 −2 3
1 −1 4
Ejemplo 1: Ilustración del teorema de Caley – Hamilton Sea A = 3 2 −1 . En el ejemplo 6.1.4, 2 1 −1
se calculo la ecuación característica λ3 - 2λ2 - 5λ + 6 = 0. Ahora se calcula6 1 1 11 −3 22
A2 = 7 0 11 , A3 = 29 4 17
3 −1 8 16 3 5
y
11 −3 22 −12 −2 −2
A3 - 2A3 + 5A + 6I = 29 4 17 + −14 0 −22
16 3 5 −6 2 −16
-5 5 −20 6 0 0 0 0 0
+ −15 −10 5 + 0 6 0 = 0 0 0
-10 −5 50 0 6 0 0 0
En algunas situaciones el teorema de Caley – Hamilton es útil para calcular la inversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0.para ilustrar esto, si p(λ) = λn +an-1 λn-1 + … + a1λ + a0, entonces
p(A) = An + an-1 An-1 + …+ a1A + a0I = 0
y
A-1p(A) = An-1 + an-1An-2 + … + a2A + a1I + a0A-1 = 0
Asi
A-1 = 1/a0 (-An-1 -an-1An-2 - … - a2A – a1I )
Observe quea0 es diferente de 0 porque a0 = det A (¿Por qué?) y se supuso que A era invertible.
1 −1 4
Ejemplo 2: Aplicación del teorema de Caley – Hamilton para calcular A-1 Sea A = 3 2 −1
1 −1
Entonces p(λ)= λ3 - 2λ2 - 5λ + 6. Aquí n = 3, a2 = −2,a1 = −5, a0 = 6 y A-1 = 1/6 (-A2 + 2A + 5I)
-6 −1 −1 2 −2 8 5 0 0
= 1/6 −7 0 −11 + 6 4 −2 + 0 5 0
-3 1 −8 4 2 −2 0 0 5
1 −3 7
= 1/6 −1 9 −13
1 3 −5...
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