teorema de apolonio

TEOREMAS DE APOLLONIUS:

1º La suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los ejes.

2º El área del paralelogramo cuyos lados son dos diámetrosconjugados es equivalente al área del rectángulo cuyos ladas son los ejes.


ANÁLISIS:

PROBLEMA:
Se sabe que diámetro de una cónica es el lugar geométrico de los puntos medios de un sistema decuerdas paralelas.











Si dos diámetros son tales que cada uno de ellos biseca a las cuerdas paralelas al otro, se les llama diámetros conjugados
En la elipseSi m es la pendiente de las cuerdas paralelas, la ecuación de un diámetro es:


Y la de su conjugado es: y = m x. El producto de sus pendientes es - b2 /a2 y, por tanto, si m y m1 designanlas pendientes de dos diámetros, estos son conjugados si se cumple:


Si la elipse es a2 x2 + b2 y2 = a2 b2 , debecumplirse:


PROBLEMA:
Conocidas las coordenadas de los extremos de un diámetro calcular las coordenadas de los extremos de su conjugado.







Por ser diámetros conjugados:

o sea,[1]
Por ser
[2]
[1] y [2] dan:


EJEMPLO: (3, ) y son extremos de un diámetro en la elipse 9 . Calcular losextremos del diámetro conjugado.
Se tiene

Que da: a=5 ; b=3

Aplicando las formulas:

Un extremo es el otro es . en efecto, se verifica la condición
TEOREMA DEAPOLLONIUS:

1º La suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los ejes.

VERIFICACION del primer teorema
Sean:
9 y (3, )

DiámetroDiámetro conjugado


Y se tiene:
(-4, ); )

De donde,
= ;

Y por tanto,
+ = 136

Por otra parte:

o sea,...