Teorema de bayes

Clase # 21

Todos los días las personas nos vemos enfrentadas a innumerables situaciones en las cuales debemos tomar determinadas decisiones y seguir cursos de acción. Los procesos de toma de decisiones los podemos clasificar principalmente en:

Análisis de decisiones. Conceptos generales y Teorema de Bayes

Decisiones bajo certidumbre
Diseño: Andrés Gómez 21-1 Diseño: Andrés GómezDecisiones bajo incertidumbre
21-2

Antes de explicar en que se diferencian los dos procesos de tomas de decisiones es importante aclarar que es una decisión y que pasos se siguen cuando esta se toma:

Pasos: 1. Definición del problema. 2. Recolección de datos sobre el problema. 3. Planteamiento de un modelo.

Decisión: El proceso de elegir la solución para un problema suponiendo que existenvarias alternativas.
Diseño: Andrés Gómez 21-3

4. Obtención de soluciones utilizando el modelo. 5. Selección de la mejor de las soluciones
Diseño: Andrés Gómez 21-4

Toma de decisiones bajo certidumbre

Los parámetros son constantes conocidas y ciertas Dentro de estos modelos encontramos la Programación lineal

Los procesos de toma de decisiones bajo incertidumbre serán los queanalizaremos en esta parte del curso, y nos enfocaremos principalmente en el corto plazo, en el cual tendremos que preocuparnos de tomar quizá solo una decisión En los procesos de toma de decisiones bajo incertidumbre es posible disminuir la mencionada incertidumbre con el uso de algunas pruebas.
Sigue

Toma de decisiones bajo incertidumbre

Los parámetros varían con el tiempo y obedecen a procesosestocásticos Sigue
21-5

Diseño: Andrés Gómez

Diseño: Andrés Gómez

21-6

1

Decisiones bajo incertidumbre

Toma de decisiones sin experimentación

• No se dispone de datos previos. • Las circunstancias varían constantemente. • La decisión no se toma en forma repetida • Se dispone de datos previos. • Las circunstancias no varían constantemente. • La decisión se toma en forma repetidaDiseño: Andrés Gómez 21-8

Toma de decisiones sin experimentación

Toma de decisiones con experimentación

Toma de decisiones con experimentación

Diseño: Andrés Gómez

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Toma de decisiones sin experimentación

Toma de decisiones con experimentación

Los modelos de toma de decisiones utilizan algunos conceptos de la estadística. Por ello es necesario que recordemos algunos deestos conceptos, y en especial el Teorema de Bayes.

Sea E un experimento que se repite n veces • nA : # de veces que se da el evento A. La experimentación tiene un costo ¿ Utilizar la experimentación con el fin de reducir la incertidumbre o tomar la decisión sin usar ninguna de estas pruebas ?
Diseño: Andrés Gómez 21-9

• nB : # de veces que se da el evento B. • nA ∩ B : # de veces que seda el evento ∩ A ∩B
Diseño: Andrés Gómez 21-10

nA : Frecuencia relativa de A n nB : Frecuencia relativa de B n nA ∩ B : Frecuencia relativa de A ∩ B ∩ n

Cuando n

∞

nA ∩ B ∩ nA

P ( B |A )

nA ∩ B ∩ n nA n
Entonces

=

P(A∩ B) P(A)

nA ∩ B ∩ : Frecuencia relativa o nA condicional de B dado que
se dio A
Diseño: Andrés Gómez 21-11

P ( B |A ) =

P(A∩ B) P(A)
21-12Diseño: Andrés Gómez

2

Ejemplo. Sea E un experimento consistente en tirar un dado. Definamos los eventos: A: Que aparezca un número par. B: Que aparezca el número dos. ¿P(B |A)?

Definición Los eventos B1 , B2 ,........, Bk, se dice que son una partición del espacio muestral S si se cumplen: Bi ∩ Bj = ∅ (para i ≠ j)

∪ Bi = S i=1
P ( A ∩ B ) = 1/6 P ( A ) = 1/2 P ( B |A ) = 1/6 1/2
21-13k

= 1/3 P (Bi) > 0
Diseño: Andrés Gómez 21-14

Diseño: Andrés Gómez

Gráficamente se puede ver el espacio muestral S como la partición de B1 , B2 ,........, Bk B6 B4 B2 B5 B3
Diseño: Andrés Gómez

Sea A= A ∩ ( B1 , B2 ,........, Bk) A= (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ ....... ∪ (A ∩ Bk ) B6 B4 B2 A B5 B3
21-15 Diseño: Andrés Gómez

B1

B8

B1

B8

B7

B7

21-16

Propiedad...