Teorema de calculo diferencial

Teorema de calculo diferencial
Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte

Si f es continua en [a,b], la función F esta definida por:
F(x)=\int_{a}^{b} f(x)dx\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,a\leq x\leq b
es continua en

[a,b]

y derivable en:

(a,b)

y

F'(x)=f(x)


DEMOSTRACIÓN

Si x y x+h están en (a,b), entonces:

F(x+h)-F(x)=\int_{a}^{x+h} f(x)dx - \int_{a}^{x} f(x)dx
= \left(\int_{a}^{x}f(x)dx+\int_{a}^{x+h}f(x)dx \right )-\int_{a}^{x}f(x)dx\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (segun \, propiedad\, 5 \, de\, Integrales)

Ecuación 2

= \int_{x}^{x+h}f(x)dx

y así, cuando h\neq 0,\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)dx

suponemos que


h>0,


Dado f es continua


[x,x+h]


Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, u y v en [x,x+h], tales quef(u)=m y f(v)=M, en donde m y M son los valores mínimo y máximo absolutos de f en [x,x+h].


De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

mh\leq \int_{x}^{x+h} f(x)dx\leq Mh


es decir,

f(u)h\leq\int_{x}^{x+h} f(x)dx\leq f(v)h


como h>0, podemos dividir esta desigualdad entre h:


f(u)\leq \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(x)dx \leq f(v)


Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuaciónanterior obtendremos:


Ecuación 3

f(u) \leq \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\leq f(v)


Ahora hacemos que


h\rightarrow 0.


Entonces:

u\rightarrow x y v\rightarrow x

.
Como u y v existen entre x y x+h,decimos que:


\lim_{h \to 0} f(u)=\lim_{u \to x} f(u)=f(x)\, y\, \lim_{h \to 0} f(v)=\lim_{v \to x} f(v)=f(x)

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremos y mediosllegamos a la conclusión de que:


Ecuación 4

F'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)


Si x=a \, o\, b, podemos decir que es un limite unilateral. Si f es diferenciable en a, entonces f es continuaen a, modificado para limites unilaterales podemos decir que F es continua en [a,b]

Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Calculo, 1era Parte de...