Teorema de cayley

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TEOREMA DE CAYLEY
Para cualquier grupo G.( F (G),∘) es un grupo y G≈F (G)
DEMOSTRACION:
Consideraciones :
F(G)⊆S(G)= {π: G→G tal que π es permutacion}
F(G)={f_a ┤ ∶ G→G tal que a∈G,f_a espermutacion }

Sea a∈G, definimos f_a ∶ G→G como f_a (c)= ac,∀ c∈G
Veamos que F(G)⊆S(G)
Sea a∈G, basta probar que f_a es permutación
PROBEMOS BUENA DEFINICION E INYECTIVIDAD
c=d↔ac=ad (ley de cancelación)
↔ f_a (c)=f_a (d) ( def. de f_a)

PROBEMOS SOBREYECTIVIDAD
Sea y ∈G, Q.P.Q : ∃ x ∈G t.q f_a (x)= y
Para x=a^(-1) y , vemos que x ∈G puestoque a^(-1) ∈ G, y ∈G. Luego

f_a (a^(-1) y)= a(a^(-1) y)=ey=y

Por lo tanto; ∃ x ∈G t.q f_a (a^(-1) y)= y . Así, tenemos que f_a es sobreyectiva y es permutación. Luego,F(G)⊆S(G).

Por otro lado, sea .( F (G),∘) . Q.P.Q: .( F (G),∘) < ( S (G),∘)

F(G)≠ ∅, porque f_e ∈F (G),a∈G. (G es un grupo )
Sean f_(a ,) f_b ∈F(G) Q.P.Q : f_a "∘ " 〖f_b〗^(-1) ∈F(G)
Sea c∈G, f_a " ∘ " 〖f_b〗^(-1) (c)= f_a (f_(b^(-1) ) (c))

Afirmación: 〖f_b〗^(-1)=f_(b^(-1) )
Prueba: sea x∈G
f_b " ∘ " 〖f_b〗^(-1) (x)= f_b " (" 〖f_b〗^(-1)(x)) ( def. de comp)
= f_b (b^(-1) x) ( def de f_b)
= b(b^(-1) x) ( def de f_b)= ex
= x

FALTA PROBAR EL OTRO LADO.(LO DEJO COMO EJERCICIO)
Luego, como x es arbitrario tenemos que f_b " ∘ " 〖f_b〗^(-1)=i, donde i es la función identidad.Continuando con la prueba

f_a " ∘ " 〖f_b〗^(-1) (c)=f_a "( " 〖f_b〗^(-1) (c))
= f_a (f_(b^(-1) ) (c)) (por afirmación anterior)= f_a (b^(-1) c) (por def. de f_b)
= a(b^(-1 ) c) (por def. de f_a )...
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