Numeros reales

Número real

Diferentes clases de números reales.
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal.
Pueden ser descritos devarias formas, aparentemente simples, pero éstas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevófinalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] Más adelante se describirán algunas de las definiciones más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales,Cortaduras de Dedekind.

Número imaginario

Ilustración del plano complejo. Los números imaginarios se encuentran en el eje de coordenadas vertical.
(se repite el patrón
de la zona azul) |
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Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y sepropuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

En campos de ingeniería eléctrica, electrónica y relacionados, launidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Estos números extienden el conjunto de los númerosreales al conjunto de los números complejos .
Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Usos
* La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos.
* Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro númerocomplejo.
* Gracias a la fórmula de De Moivre los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no unívoca) mediante, así ln( − 1) = πi aunque cualquier número imaginario de la forma satisface que . Curisosamente .
* En física cuántica la unidad imaginaria se usa ampliamente y permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.* En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa ampliamente para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.
Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
El término número complejodescribe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas...