Teorema de frobenius trabajo

El TEOREMA DE FROBENIUS Georg Frobenius, matemático alemán (1848-1917) publico un método que permite hallar la solución de las ecuaciones diferenciales en puntos singulares mediante serie de potencias (coeficientes indeterminados).

Las ecuaciones diferenciales en las que se aplica el método de Frobenius son ecuaciones lineales de segundo orden

Cuya forma estándar es (se obtiene al dividirla ecuación (1) por

)

Donde

Esta forma estándar como se verá más adelante permitirá establecer ciertas definiciones. La solución que brinda el método de Frobenius es en forma de series de potencias infinitas, es decir:

El método de Frobenius se utiliza solo cuando su teorema (teorema de Frobenius) se cumple. Antes de presentar el teorema debemos dar ciertas definiciones Definición defunción analítica Si una función f tiene un desarrollo en serie de potencia centrado en un punto x0 y tiene un radio de convergencia positivo, se dice que f es analítica en x0.

Un desarrollo en serie de potencia es una serie infinita de términos de la forma

Y se llama serie de potencias centrada en , donde es una constante, se observa que consiste en una suma de potencia del factor , elprimer termino no tiene este factor porque n=0 y todo número elevado a la cero es uno. Si en particular la serie se transforma en

Las series en potencias permiten expresar las funciones con las que uno trabaja en términos de operaciones elementales (suma, resta, multiplicación y división), mas aun las derivadas son sencillas de obtener. Así por ejemplo la función exponencial se puede expresarcomo

O una función racional tal como

se puede escribir como

Pero estos desarrollo tienen un radio de convergencia o tal vez no tenga, es decir tiene un conjunto de valores de x para la cual se hace efectiva la igualdad. Por ejemplo la serie de la ecuación (6) funciona para cualquier , pero la serie de la ecuación (7) solo funciona para valores entre -1 y 1 ( ) a esto es lo que se llamaintervalo de convergencia, la cual se calcula por el Radio de convergencia. En el caso de la serie (6) el radio de convergencia es infinito y en el caso de la serie (7) el radio de convergencia es 1. Cuando R (radio de convergencia) es cero significa que la serie solo converge entorno al punto escogido como centro ( ). De esta forma lo que está diciendo la definición es que una función analítica enun punto es aquella que se puede escribir en términos de una serie de potencias en dicho punto y converge para valores alrededor de ese punto. Nótese que la definición

depende del punto a tomar, puede que en un punto no sea analítica pero que en otro si y esto nos lleva a la siguiente definición. Definición del punto ordinario y singular Se dice que x = x0 es un punto ordinario de la ecuación(3), si P(x) y Q(x) son analíticos en x0. Si un punto no es un punto ordinario, se dice que es un punto singular de la ecuación. En la práctica esto se reduce a: Si Si entonces x0 es un punto ordinario entonces x0 es un punto singular

Como la forma (2) se obtiene de (1) al dividir por una cantidad esta no puede ser cero, porque de lo contrario no estaría definida la ecuación diferencial eneste punto, y por tanto una respuesta en serie de potencia no sería posible (bueno más adelante se verá que aunque el denominador de la ecuación diferencial (2) se haga cero, , aun es posible obtener una solución en términos de serie infinita alrededor del punto

.Así por ejemplo la ecuación diferencial

Tiene un punto singular en

, por que si dividimos todo por

se tiene que:

Seobserva que este punto hace cero a un denominador. Los demás valores de puntos ordinarios. Otro ejemplo es la ecuación diferencial

son

Se observa al dividir por

que dos valores que hacen cero a esta cantidad

Por tanto valores finitos de

son puntos singulares de la ecuación (10). Todos los otros son puntos ordinarios.

Los puntos singulares a su vez se pueden clasificar en dos tipos....