Teorema de Rouché-Frobenius

Teorema de Rouché-Fröbenius
Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones lineales, tenemos que dar respuesta a las
siguientes preguntas: ¿El sistema tiene solución, es decir, escompatible? En caso afirmativo: ¿Tiene
una solución o infinitas? Para responderlas, una de las herramientas que podemos utilizar es la que
proporciona el Teorema de Rouché-Fröbenius, cuyo enunciado es elsiguiente:
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la
siguiente:

Sean A la matriz del sistema y A* la matriz ampliada del sistema (con lostérminos independientes).

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de lasincógnitas (
A ) sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ). Es decir: rango
(A) = rango (A*).
Si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, elsistema es compatible
determinado. Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el
sistema es compatible indeterminado.
En resumen:
Si rango (A) = rango (A*) = n(número de incógnitas), el sistema es compatible determinado
(tiene una única solución).
Si rango (A) = rango (A*) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado
(tieneinfinitas soluciones).
Si rango (A) ≠ rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).
Un caso particular es el de los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en los que todos los términosindependientes son nulos. Pues, en este caso, las matrices A y A* son semejantes a efectos del
cálculo del rango, dado que la matriz A* es la matriz A a la que se le añade una columna de ceros, quepodemos suprimir para calcular el rango. Por lo tanto, siempre se cumple que rango (A) = rango (A*). Esto
quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Se cumple:
Si rango...