Teorema de la divergencia

Teorema de la divergencia
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma detodos los sumideros da el flujo de salida neto de una región. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes
Historia
El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en1825 y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera demostracion del teorema. Posteriormente, variaciones del teorema de divergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, y teorema de Ostrogradsky.
Sean y dos subconjuntos abiertos en donde es simplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea , un campovectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

donde el vector normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen .
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicadohasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones deMaxwell.
[editar] Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2.
Calcular el flujo del campo vectorial a través de la superficie esférica
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es . Entonces:

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:
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Teorema de Stokes
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El teorema deStokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
Introducción
El teorema fundamental del cálculoestablece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
* Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teoremageneral de Stokes aplica para formas diferenciales mayores en vez de F.
* En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condicionestécnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
* Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo,...