teorema de millman

TEOREMA DE MILLMAN
El teorema o principio de Millman se llamó así en honor al electrónico ruso Jacob Millman.
El principio de Millman resulta indicado cuando se tiene un circuito con sólo dos nodos, o lo que es lo mismo, cuando se tienen varias ramas en paralelo, y en cada una de dichas ramas se tiene una fuente de tensión en serie con una resistencia (o en su caso más general, en serie conuna impedancia1), tal como se muestra en la Figura 9.1.

Figura 9.1 Circuito en el que se puede aplicar el Teorema de Millman.
El principio de Millman permite obtener directamente la diferencia de potencial en los extremos del circuito mostrado en la Figura 9.1, es decir, entre los nodos a y b del mismo. Este teorema establece que el voltaje Vm entre los nodos a y b es igual a la suma de losproductos que resultan al multiplicar la fuente de tensión en cada rama, Vk, por la conductancia en dicha, Gk, para todas las ramas k = 1, 2, ..., n, todo dividido por la suma de las conductancias, tal como se muestra en la siguiente ecuación:

En el caso más general1, en el que en cada rama se tiene una fuente de tensión en serie con la impedancia de un elemento lineal pasivo, esta ecuación puedeexpresarse como

donde Zk es la impedancia (medida en ohms) del dispositivo lineal pasivo en la rama k, y Yk es la admitancia (medida en siemens) correspondiente, es decir, Yk = 1/Zk. En el caso de las resistencias, Zk = RK y Yk = Gk.
1 Posteriormente en el curso se definirán los términos impedancias y admitancias.
Para la demostración de este teorema, usaremos la ley de ohm, que en este casoestablece que la corriente ik en cada rama k es

Ahora, a partir de la Ley de Corrientes de Kirchhoff, tenemos que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen en el nodo a es

Desarrollando obtenemos que

Dado que vm es una valor constante que puede sacarse como factor en la sumatoria izquierda de la Ecuación (9.5), podemos despeja vm, para obtener

Obsérvese que las ecuaciones(9.1) y (9.6) son idénticas. El caso general expresado por la Ecuación (9.2) puede obtenerse siguiendo el mismo proceso, pero utilizando impedancias y admitancias en lugar de resistencias y conductancias, respectivamente.










------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo: Usodel Teorema de Millman




TEOREMA DE RECIPROCIDAD
Primer Enunciado: Si la excitación o fuente de entrada de un circuito produce una corriente i a la salida, la misma excitación o fuente aplicada en la salida del circuito producirá la misma corriente i a la entrada del mismo circuito. Es decir, el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta del circuito. Esto seilustra en la Figura 9.2.

Figura 9.2 a) Una fuente de excitación F aplicada en la entrada del circuito produce una corriente de salida i; b) La misma fuente de excitación F aplicada en la salida produce una corriente i en la entrada.

Segundo Enunciado: La intensidad i que circula por una rama a de un circuito lineal y pasivo, cuando se intercala una fuente de tensión en otra rama b, es la mismaque circularía por la rama b si la fuente de tensión se intercala en la rama a. Esto se muestra en la Figura 9.3.


Figura 9.3 a) Una fuente de tensión E en la rama a-b produce una corriente i en la rama c-d;
b) la misma fuente de tensión E aplicada a la rama c-d produce la misma corriente i en la rama a-b.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo: Teorema de reciprocidad
Utilice el teorema de reciprocidad para comprobar que la fuente de tensión de entrada E que produce la corriente I en la rama de la resistencia R4, produce la misma corriente I en la entrada si esta fuente de tensión se coloca en la rama de R4.


Si se usa el teorema de Thévenin, tenemos:

La...