Teorema de rolle

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UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE
COSTA RICA
BACHILLERATO EN INGENIERIA EN SISTEMAS

CURSO: CALCULO I
CODIGO MA -110
II 2009
Estudiantes:
Gabriel Vargas Rodríguez
Jeffry Solano Romero
Ernesto Pacheco Jiménez
Jasiel Cascante Camacho
Leonardo Zamora Quesada

Tabla de contenido

Introducción 3
Descripción General 3
Objetivos Generales 3
Objetivos Específicos 3
Definición 4Aplicaciones Matematicas 5
Teorema de Valor Medio, de Lagrange ó de Incrementos Finitos 8
Teorema del Valor medio: 8
Conclusión 11
Bibliografía 12

Introducción

Descripción General

Las funciones tienen una gran aplicabilidad en distintos campos de las ciencias y disciplinas, tales como la química, física, administración e ingeniería. Por esta razón es posible que el estudiante en sudesarrollo profesional se enfrente a alguna situación en la que deba aplicar sus conocimientos del cálculo diferencial, e incluso deba manipular el interior de los intervalos y analizar los puntos extremos; esto lo determina el Teorema de Rolle. En este proyecto se pretende que el estudiante tenga un mayor acercamiento entre las matemáticas y las ciencias de la computación. Se le plantea entoncesa los estudiantes que utilicen un programa que grafique funciones sencillas y se permita visualizar los puntos extremos y que lo presente a sus compañeros.

Objetivos Generales

* Investigar y demostrar las distintas aplicaciones del Teorema de Rolle
* Investigar acerca de distintos cálculos vistos en el curso
* Analizar y mostrar distintos programas para la realización de gráficosObjetivos Específicos

* Investigar el Teorema de Rolle y plantear su uso.
* Decidir el paquete que se usará y presentar una breve explicación del mismo
* Utilizar el paquete seleccionado que permita explicar el Teorema mencionado, a distintas funciones
* Elaborar una síntesis sobre la investigación

Definición
Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], conderivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
f´(c) = 0
 Ejemplo:
Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].
Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en todo punto.

la derivada de esta función es: f´(x)=2x
lo que nos conduce a obtener la posición en laque f´(x)=0.
 f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.
 El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.
Es decir si una curvaregular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.

En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. Eltercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

Aplicaciones Matematicas
* Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
* La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitudfinita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
* Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo (corresponde al primer ejemplo)....
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