Teorema de stokes

Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada, simple y regular a trozos. Sea C su curva frontera, regular a trozos, cerrada y simple, con orientaci´n positiva. Si F es un campo vectorial, o de clase C (1) en alguna regi´n que contiene a S, entonces o F =
C S

rot F.

Para determinar la orientaci´n positiva de la curva C frontera de S, convenimos en o → que, al recorrer C en sentidopositivo con la cabeza apuntando al vector normal − que n indica la orientaci´n positiva de S, la superficie queda a la izquierda. o El teorema de Stokes proporciona otra extensi´n del teorema fundamental de la inteo gral al relacionar una integral de superficie con la integral de l´ ınea sobre la curva frontera a dicha superficie. El resultado fue descubierto en realidad por el f´ ısico escoc´s WilliamThomson (lord e ´ Kelvin) y comunicado por carta a Georges Stokes (profesor lucasiano de Cambridge). Este lo propuso en un examen de matem´ticas en 1854. a Observemos que el teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes, → → − pues si S ⊂ R2 es una superficie orientada hacia arriba, es decir − = k , y F = (P, Q, 0), n entonces el teorema de Stokes nos da la f´rmula o F =
C S

→ −(rot F ) · k dxdy =
S

∂Q ∂P − ∂x ∂y

dxdy,

que corresponde precisamente al teorema de Green. Demostraci´n. Veamos en primer lugar la demostraci´n del teorema de Stokes en el o o caso particular de una superficie S definida por la funci´n expl´ o ıcita z = f (x, y), (x, y) ∈ D, o o con f ∈ C (2) y D una regi´n plana simple cuya frontera C1 es la proyecci´n de la frontera de S sobre el plano XY. Sea pues el campo vectorial F = (P, Q, R) de clase C (1) en una regi´n que contiene a o S. Entonces rot F =
S D

−

∂f ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂f ∂R ∂Q − − − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y 1

dxdy.

Por otra parte, si C1 se parametriza por x = x(t), y = y(t), con t ∈ [a, b], entonces C tiene la parametrizaci´n x = x(t), y = y(t), z = f (x(t), y(t)), con t ∈ [a, b]. Por tanto, o
b

F =
C a b[P · x (t) + Q · y (t) + R · z (t)] dt P · x (t) + Q · y (t) + R ·

=

∂f ∂f · x (t) + · y (t) dt ∂x ∂y a ∂f ∂f dx + Q + R · dy = (por el teorema de Green) = P +R· ∂x ∂y C1 ∂ ∂f ∂ ∂f = dxdy Q+R· − P +R· ∂y ∂y ∂x D ∂x ∂Q ∂Q ∂z ∂R ∂f ∂R ∂z ∂f ∂2f = + · + · + · · +R· ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y∂x D ∂x ∂P ∂P ∂z ∂R ∂f ∂R ∂z ∂f ∂2f − − · − · − · · −R· dxdy. ∂y ∂z ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂x∂y rot F .
S

Alsimplificar la expresi´n del integrando, llegamos al mismo resultado que o

Veamos ahora la demostraci´n del caso general. Para ello, sea Φ : D → R3 una o parametrizaci´n de la superficie, de clase C (1) en un abierto que contiene a D ∪ ∂D. o Si hacemos F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) y Φ(u, v) = (X(u, v), Y (u, v), Z(u, v)), por definici´n de integral de l´ o ınea, F =
C C

Pdx + Q dy + R dz.

Por otra parte, rot F =
S

∂R ∂Q ∂(Y, Z) − · ∂y ∂z ∂(u, v) D ∂P ∂R ∂(Z, X) ∂Q ∂P + − · + − ∂z ∂x ∂(u, v) ∂x ∂y

·

∂(X, Y ) dudv. ∂(u, v)

Por tanto, basta probar que P dx =
C D

Q dy =
C D

R dz =
C D

∂P ∂z ∂Q ∂x ∂R ∂y

∂(Z, X) ∂P ∂(X, Y ) − · dudv, ∂(u, v) ∂y ∂(u, v) ∂(X, Y ) ∂Q ∂(Y, Z) · − · dudv, ∂(u, v) ∂z ∂(u, v) ∂(Y, Z) ∂R ∂(Z, X) · − · dudv. ∂(u,v) ∂x ∂(u, v) · 2

Veamos la comprobaci´n de la primera igualdad (las dem´s son completamente an´logas). o a a Si llamamos p(u, v) = P ◦ Φ(u, v) = P (X(u, v), Y (u, v), Z(u, v)), entonces se puede comprobar f´cilmente que: a ∂P ∂(Z, X) ∂P ∂(X, Y ) · − · dudv = ∂z ∂(u, v) ∂y ∂(u, v) ∂X ∂ p· ∂u ∂v − ∂ ∂X p· ∂v ∂u dudv.

D

D

Si aplicamos ahora el teorema de Green a la ultima integral,obtenemos (llamamos C1 a ´ la frontera de D en R2 ): ∂P ∂(Z, X) ∂P ∂(X, Y ) · − · dudv = ∂z ∂(u, v) ∂y ∂(u, v) p·
C1

D

∂X ∂X du + p · dv = ∂u ∂v

P dx.
C

Observaci´n. El teorema tambi´n es v´lido en regiones m´ltiplemente conexas si se o e a u mantienen las dem´s hip´tesis. a o Ejemplos. 1) Calcular
C

F , donde F (x, y, z) = (−y 2 , x, z 2 ) y C es la curva intersecci´n de o

y +...