Teorema del binomio de newton
Páginas: 4 (834 palabras)
Publicado: 14 de octubre de 2014
Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es unnúmero entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2\,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.
El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial \tbinom nb o \tbinom nc (los dos tienen el mismo valor).
Índice [ocultar]
1Formulación del teorema
1.1 Ejemplo
2 Teorema generalizado del binomio (Newton)
3 Coeficiente binomial
4 Historia
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Formulación del teorema[editar]Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k)\, o C^n_k ) se obtiene la siguiente representación:(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k
El coeficiente de x^{n-k}y^k\, en el desarrollo de (x+y)^n\, es {n\choose k}
donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial yrepresenta el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choosek}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n
Ejemplo[editar]
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando loscoeficientes del triángulo de Pascal:
(2)\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}
Para...
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es unnúmero entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2\,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.
El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial \tbinom nb o \tbinom nc (los dos tienen el mismo valor).
Índice [ocultar]
1Formulación del teorema
1.1 Ejemplo
2 Teorema generalizado del binomio (Newton)
3 Coeficiente binomial
4 Historia
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Formulación del teorema[editar]Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k)\, o C^n_k ) se obtiene la siguiente representación:(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k
El coeficiente de x^{n-k}y^k\, en el desarrollo de (x+y)^n\, es {n\choose k}
donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial yrepresenta el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choosek}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n
Ejemplo[editar]
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando loscoeficientes del triángulo de Pascal:
(2)\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}
Para...
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