Teorema Del Binomio

Teorema del binomio

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
TEOREMA DEL BINOMIO
CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima

(

)

potencia de un

posee singular importancia ya que
binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio a + baparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del
conocimiento.
n

FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO
Sea un binomio de la forma

(a + b) .

Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:

(a + b)1 = a + b
(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2 veces

(a + b )

3

= (a + b )(a + b )(a+ b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
3 veces

(a + b )

4

= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
4 veces

(a + b )

5

= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5
5 veces

(a + b )

6

= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
6 veces

De lo anterior, se aprecia que:a) El desarrollo de

(a + b) n tiene n + 1 términos

b) Las potencias de

a

empiezan con

n

en el primer término y van disminuyendo en cada término,

hasta cero en el último
c) Las potencias de

b

empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno

con cada término, hasta

n

en el último.

d) Para cada término la suma de los exponentes de

ay

b

es

e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es
f)

n.
n.

El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el
exponente de

a

dividido entre el número que indica el orden de ese término.

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
1

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplo.

(a + b )5 = ↑a 5 + 5↑ 4 b+ 10↑a 3b 2 + 10↑a 2b 3 + 5↑ab 4 + ↑ 5
a
b
es 1

1(5 )
1

5(4 )
2

10 (3 )
3

10 ( 2 )
4

5 (1)
5

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

(a + b )n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2 b 2 + n(n − 1)(n − 2) an−3b 3 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a n−4 b 4
1
1(2 )
1(2 )(3)
1(2 )(3)(4 )
n (n − 1)(n − 2 )(n − 3)(n − 4 ) n −5 5
+
a b + ⋅⋅⋅ + bn
1(2 )(3)(4 )(5 )
Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

(a + b)n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2b 2 + n(n −1)(n − 2) a n−3b3 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a n−4b 4
1!
2!
3!
4!
n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)(n − 4) n−5 5
+
a b + ⋅⋅⋅ + bn
5!

Ejemplo.
Obtener el desarrollo de

(2 x − 5 y ) 4

Solución.
Haciendo a = 2 x y b = − 5 y
Aplicando la fórmula se tiene:

(2 x − 5 y )4 = (2 x )4 + 4 (2 x )3 (− 5 y ) + 4(3) (2 x )2 (− 5 y )2 + 4(3)(2) (2 x )(− 5 y )3 + (− 5 y )4
1!

2!

3!

(2 x − 5 y )4 = (2 x )4 + 4 (2 x )3 (− 5 y ) + 12 (2 x )2 (− 5 y )2 + 24 (2 x )(− 5 y )3 + (− 5 y )4
12

6

(2 x − 5 y )4 = 16 x 4 − 160 x 3 y + 600 x 2 y 2 − 1000 xy 3 + 625 y 4
EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL
En el desarrollo binomial:

(a + b )n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n−3b 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n(n − 1) a 2 b n−2 + n a1b n−1 + b n
1!

2!

3!

2!

1!

si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino, entonces seencuentra que:
•
•
•
•

r −1
El exponente del término
del binomio es: n − (r −1) = n − r + 1
El denominador del coeficiente es: (r −1)!
El exponente del término

b
a

del binomio es:

El numerador del coeficiente es: n(n − 1)(n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 2 )

2

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En consecuencia el r-ésimo termino de la...