teorema del factor

TEOREMA DEL FACTOR
En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e,g. ). Es un caso especial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y sólo si es una raíz de , es decir que
EjemploSi se desea encontrar los factores de , para ello se podría tantear un primer factor, . Si el resultado de sustituir en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es un factor? Para saberlo, se sustituye en el polinomio:

Cómo esta operación da18 (y no 0), no es un factor de . Así que ahora se prueba con (sustituyendo en el polinomio):
.
Que da como resultado 0. Por tanto, , que es equivalente a , es un factor, y -1 es una raíz de .
Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo entre para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera además elteorema del factor es muy factible para estos casos
Ejemplo
Si se desea encontrar los factores de , para ello se podría tantear un primer factor, . Si el resultado de sustituir en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es un factor? Para saberlo, se sustituye en el polinomio:

Cómo esta operación da 18 (y no 0), no es un factor de .Así que ahora se prueba con (sustituyendo en el polinomio):
.
Que da como resultado 0. Por tanto, , que es equivalente a , es un factor, y -1 es una raíz de .
Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo entre para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente maneraademás el teorema del factor es muy factible para estos casos
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
..(x4 − 2x3 + x2 + x − 1)tiene por factor (x − 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor.
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6= 9 − 3 − 6 = 0









TEOREMA DEL RESIDUO
Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formasequivalentes:
f(x) = (x-2)(x+3) + 4
Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarsefácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
f(x) = (x-1)(x+2)
Como se muestra, (x-1) es un factor.
Enunciado Sea una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de...