Teorema del Limite central

El Teorema del Límite Central o Teorema Central del Límite indica que, bajo condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución gaussiana cuando la cantidad de variables es muy grande.
Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que essuficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.
La aproximación entre las dos distribuciones es en general mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre “Teorema del Límite Central” (“central” califica al límite, más que al teorema).
Esta relación entre la forma dela distribución de la población y la forma de la distribución de muestreo se denomina teorema del límite central, que es tal vez el más importante de toda la inferencia estadística. Nos asegura que la distribución de muestreo de la media se aproxima a la normal al incrementarse el tamaño de la muestra. Hay situaciones teóricas en las que el teorema del límite central no se cumple, pero casi nuncase encuentran en la toma de decisiones práctica. Una muestra no tiene que ser muy grande para que la distribución de muestreo de la media se acerque a la normal. Los estadísticos utilizan la distribución normal como una aproximación a la distribución de muestreo siempre que el tamaño de la muestra sea al menos de 30, pero la distribución de muestreo de la media puede ser casi normal con muestrasincluso de la mitad de ese tamaño. La importancia del teorema del límite central es que nos permite usar estadísticas de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de población sin saber nada sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de la muestra.
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TEOREMAS DEL LÍMITE CENTRAL
Por:
Dr. Luis Antonio Pérez González
Universidad Politécnica del Valle de Toluca
lperez@upvt.edu.mx
Ing. Carlos Díaz Ramos
Instituto Tecnológico de Orizaba
kdiaz@prodigy.net.mx

Contenido

Resultados básicos Error: Reference source not found
Teorema de Lindeberg - Feller Error: Reference source not foundTeorema de Liapunov Error: Reference source not found
Teorema Clásico del Límite Central Error: Reference source not found
Reglas empíricas sobre el tamaño de n para asumir normalidad Error: Reference source not found
Resultados básicos
El tema que ahora nos ocupa se refiere a un conjunto de teoremas que, sin temor a equivocarnos, pertenecen a los más utilizados, consciente o inconscientemente, enlas diversas aplicaciones de la estadística. Nos referimos a la clase de teoremas que establecen las condiciones para que la suma y el promedio de variables aleatorias independientes tienda a distribuirse normal. Puesto que las condiciones para que esto suceda están presentes en una gran cantidad de situaciones prácticas, los teoremas del límite central nos habilitan, en tales situaciones, aasumir normalidad para la distribución de las sumas y promedios. Este conjunto de teoremas es conocido como Teoremas del Límite Central, siguiendo una denominación introducida por G. Polya en 1920.
Los primeros teoremas de esta clase fueron esbozados en 1800 por Laplace y Gauss, pero los primeros resultados expuestos de manera rigurosa fueron presentados por el matemático ruso Liapunov, en 1901.
Eneste capítulo enunciaremos sólo tres de estos teoremas: el Teorema de Lindeberg – Feller, el Teorema de Liapunov y el Teorema Clásico del Límite Central. Presentaremos la demostración sólo de este último. La diferencia de fondo entre ellos es que mientras el teorema clásico exige que las variables aleatorias que intervienen en la suma, tengan la misma distribución, los otros teoremas eliminan...