TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL.


INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL.

ESCUELA NACIONAL DE MEDICINA Y HOMEOPATÍA
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACÍÓN Y ESTADISTICA II.


“TEOREMA DEL LÍMITE CNETRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA.”

FLORES MARTINEZ ZURISADAI ABIGAIL. 4PM3






PROFESORA: BOLAÑOS VERONICA.



Enero2015-Julio 2015.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
El teorema central del límite, uno de los fundamentales enestadística, estudia el comportamiento de la suma de variables aleatorias, cuando crece el número de sumandos, asegurando su convergencia hacia una distribución normal en condiciones muy generales. Este teorema, del cual existen diferentes versiones que se han ido desarrollando a lo largo de la historia, tiene una gran aplicación en inferencia estadística, pues muchos parámetros de diferentesdistribuciones de probabilidad, como la media, pueden expresarse en función de una suma de variables. Permite también aproximar muchas distribuciones de uso frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student, gamma, etc., cuando sus parámetros crecen y el cálculo se hace difícil. Por otro lado, la suma de variables aleatorias aparece en forma natural en muchas aplicaciones de la ingeniería:determinación de masa forestal, carga soportada por una estructura, tiempo de espera de servicios, etc.
Usos:
Medicina. Los resultados que se obtienen sobre efectividad de fármacos se analizan por medio de métodos estadísticos. Los médicos investigadores se ayudan del análisis estadístico para evaluar la efectividad de tratamientos aplicados. La Estadística también se aplica en elestablecimiento y evaluación de los procedimientos de medida o clasificación de individuos con el propósito de establecer la especificidad y sensibilidad a las enfermedades.
Salud. Los técnicos de la salud la utilizan para planear la localización y el tamaño de los hospitales y de otras dependencias de salud. También se aplica en la investigación sobre lascaracterísticas de los habitantes de una localidad, sobre el diagnóstico y la posible fuente de un caso de enfermedad transmisible, sobre la proporción de personas enfermas en un momento determinado, de ciertos padecimientos de una localidad, sobre la proporción de enfermos en dos grupos, uno vacunado contra el padecimiento y el otro no. También se aplica encualquier otro tipo de investigación similar a éste.
Teorema del límite central: Enunciado formal
De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es: Sea X1, X2, ..., Xn, un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza 0 < σ2 < ∞. Sea

Entonces.

Versión no normalizada Teorema del límite central.
Sea X1, X2, ..., Xn ,un conjunto devariables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria.

Tiene aproximadamente una distribución normal con
y

Enunciado del teorema central del límite de Lindeberg y Lévy
A continuación se presenta el enunciado del TCL en la versión de Lindeberg y Lévy.
Teorema:
SeaX1, X2, ..., Xn, un conjunto de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, cada una de ellas con función de distribución F, y supongamos que E(Xk) = μ y var(Xk) = σ2 para cualquier elemento del conjunto. Si designamos a la suma normalizada de n términos con el símbolo:


Entonces la sucesión de sumas normalizadas converge en ley a la variable aleatoria Normal tipificada Z ~ N(0,1), es decir:

El teorema anterior tiene dos importantes corolarios:
1. Si consideramos la suma ordinaria de las n variables aleatorias, es decir, Sn = X1 + X2 + ... + Xn, entonces la sucesión de sumas ordinarias converge en ley a una Normal de media nμ y varianza nσ2.
2. Si consideramos el promedio de las n variables aleatorias, es decir, n-1Sn, entonces la sucesión de promedios converge en...