Teorema del resto

TEOREMA DEL RESTO

1. Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.

a) (x4 – 16) : (x – 2) = c) (–x2 + x + 1) : ( (x + 3) =

b) (x5+ x – 2x3) : (x – 1) = d) (x3 + 2x2 – x + 1) : (x – 2) =

2. Dados los polinomios P(x) = x2 + 3x + 5; Q(x) = x2 – 4x + 4 y R(x) = x3 – 20, indica, sin hacer la división, cualesson divisibles por x – 2.

3. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 8x3 – 4x2 + 2x + m sea divisible por (x – ½).

4. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x)= x3 – 9x2 + mx – 32 sea divisible por (x – 4).

5. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 2x3 + 2x2 – 4m + 3 sea divisible por (x + ½).

6. Hallar el valor de m y npara que el polinomio P(x) = x3 + mx2 + nx + 6 sea divisible por (x + 3) y por (x – 2).

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Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de unpolinomio cualquiera P(x) entre el binomio (x – a), aplicando el algoritmo de la división:

P(x) = C(x) · (x – a) + R(x)

Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual alresto de su división entre x – a, es decir:

P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)

Y este resultado se conoce como teorema del resto.

Este teorema nos permite averiguar elresto de la división de un polinomio P(x) entre otro de la forma x – a, sin necesidad de efectuar esta división.

De este teorema se deduce que un polinomio P(x) es divisible por x –a si y sólo a es una raíz del polinomio, es decir, si y sólo si P(a) = 0.

Así, por ejemplo, el resto de la división de P(x) = x3 + 3x2 – 7x – 3 entre x – 2 es:

P(2) = (2)3 + 3· (2)2 – 7 · (2) – 3 = 3

De donde se deduce que esa división no es exacta y, por tanto, x – 2 no es un divisor de P(x).

MATERIAL FOTOCOPIABLE / ( Oxford University Press 2002