Teorema Del Seno Y Del Coseno

Teorema del Seno y Teorema del Coseno

Teorema del Seno

Si en un triángulo cualquiera trazamos una de sus alturas, el triángulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. Haciendo esto con cada una de las tres alturas relativas a cada uno de los lados y recordando los resultados iniciales básicos que expresaban la proyección ortogonal de un lado del triángulo sobre la base en función delCoseno y la altura en función del Seno, vamos a obtener dos Teoremas que nos serán de mucha utilidad práctica en aquellos problemas que tengan como objetivo resolver triángulos cualesquiera.
El teorema del Seno, conocido también como ley de los Senos, dice que la razón entre los lados de cualquier triángulo y los senos de los ángulos opuestos es constante. En otras palabras, si en untriángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces
asen A=bsen B=csen C
 
Esta fórmula es una triple igualdad. Y parece complicada para usar, pero en realidad cuando usemos este teorema no usaremos la triple igualdad así como esta. Siempre vamos a usar solo una parte. Por ejemplo: 

Si la altura trazada es la correspondiente al lado c, obtenemosla parte de la igualdad que relaciona los lados a y b y el Seno de sus ángulos opuestos:

asen A=bsen B

Si la altura trazada es la correspondiente al lado b, obtenemos la parte de la igualdad que relaciona los lados a y c y el Seno de sus ángulos opuestos:

asen A=csen C

Si la altura trazada es la correspondiente al lado a, obtenemos la parte de la igualdad que relaciona loslados b y c y el Seno de sus ángulos opuestos:

bsen B=csen C

Hay que usar la parte que mas conviene, en función de los datos que se tenga y de lo que hay que calcular. Por ejemplo, si tenemos como dato el lado A y los ángulos a y c, y hay que calcular el lado C, entonces se usa la parte de la fórmula que relaciona "A" y "C ".

No hace falta que sea un triángulo rectángulo, por lo tanto esto se puedeusar en cualquier tipo de triángulo.

Este teorema nos puede resultar para cálculos trigonométricos:

* Si se conocen dos ángulos del triángulo y el lado opuesto a uno de ellos nos permitirá calcular el lado opuesto al otro ángulo.

* También se usa cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, pues nos permitirá conocer el Seno del ángulo opuesto al otro lado.Ejemplo:

Calcular C y los ángulos a y c

Reemplazamos los valores en la fórmula

3 msen A=2,8 msen 60°
3 m ∙sen 60°=2,8 m ∙sen A
sen A=3 m2,8 m
sen A=0,92 m
A=Arcsen 0,92
A=68° 6'

Ya calculamos "A" ahora sabemos que la suma de los ángulos interiores es 180° entonces:
A+B+C=180°
C=180°-60°-68° 6'
C=51° 54'

Ahora solo falta calcular el lado c:
3 msen 68°16'=csen 51° 54'
c=3 m ∙ sen 51° 54'sen 68° 16'=2,544 m

Teorema del Coseno
cosα=AHb ⇒ b∙cosα=AH

a2=h2+HB2
a2=h2+(c-AH)2
a2=h2+c2-2cAH+(AH)2
a2=h2+c2+(AH)2-2cAH
pero
b2=h2+AH2
entonces si reemplazamos
a2=b2+c2-2cAH
y como AH=b∙cosα, finalmente
a2=b2+c2-2cb∙cosα
a2=b2+c2-2bc∙cosα
cosα=AHb ⇒ b∙cosα=AH

a2=h2+HB2
a2=h2+(c-AH)2
a2=h2+c2-2cAH+(AH)2a2=h2+c2+(AH)2-2cAH
pero
b2=h2+AH2
entonces si reemplazamos
a2=b2+c2-2cAH
y como AH=b∙cosα, finalmente
a2=b2+c2-2cb∙cosα
a2=b2+c2-2bc∙cosα

El teorema del Coseno, conocido también como ley de los cosenos, relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. El teorema dice que el cuadrado del tercer lado de un triángulo es igual a la suma de loscuadrados de los otros lados, menos el doble producto de ambos lados, multiplicados por el Coseno del ángulo que forman.

En otras palabras, dado un triángulo ABC, siendo A, B, C, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos, entonces:

a2=b2+c2-2bc∙cosA

b2=a2+c2-2ac∙cosB

c2=a2+b2-2ab∙cosC

Como caso particular, cuando el ángulo implicado en el...