Teorema de pitagoras, ley de senos y ley de cosenos

Universidad Autónoma Metropolitana

Diseño Industrial

Teorema De Pitágoras, Ley de Senos,

Ley de cosenos

Profesor: Genaro Guillen

Ortiz Fernandez Francisco Javier

Zaldivar Icaza Leonardo Alejandro

AG02I

30 septiembre 2009

Teorema de Pitágoras
ANTECEDENTES

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica.Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue laprimera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

TEOREMA

Dado un triángulo rectángulo, donde a y b son las medidas de los catetos, y h es la medida de la hipotenusa (lado opuesto al vértice de 90º). Entonces se verifica que h2=a2+b2.

VERIFICACION:

Por el teorema del cateto:                 c2 = a · c1 y b2 = a· b1
Sumando estas igualdades:          b2 + c2 = a · b1 + a · c1 = a · (b1+ c1) = a · a = a2
             Es decir:                                                    a2 = b2 + c2

El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Por ejemplo:

* El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida dealgunas montañas lunares. 
* Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra.
* Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la basede la escalera.

En general, el Teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar longitudes en donde intervienen triángulos rectángulos.

LONGITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR COORDENADO

El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R.

Si del teorema de Pitágoras se tiene que

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que

yremplazando esta última ecuación en la primera se tiene que

como la norma de un vector es no negativa tenemos que

EJERCICIOS

Un automóvil recorre 15 km hacia el norte, dobla hacia la derecha en angulo recto y continúa 5 km más. Posteriormente dobla hacia el norte y recorre otros 10 km, terminando con 14 km hacia la izquierda en angulo recto. ¿A qué distancia se encuentra del punto original?¿Cuanto camino recorrió?

Resp. 26,57 y44 km.

Una persona camina 4 km hacia el norte y 3 km al oeste. Luego cambia hacia el norte y camina 8 km, por ultimo camina 6 km más hacia el oeste. ¿A qué distancia se encuentra del origen? ¿Cuanto camino recorrió esa persona?

Resp. 15 y 21 km.

Ley de Senos
Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas pararesolver triángulos generales.
A
C
B
α
β
γ
b
c
a

Este es un triángulo ABC el ángulo α se escribe en el vértice de A, el ángulo β se escribe en el vértice de B y el ángulo γ se escribe en el vértice de C.
Los lados que están opuestos al los vértices ABC y los escribimos con una letra minúscula abc.
Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley decosenos.

La fórmula para la ley de senos es:

no hay diferencia si se toman así:

pero no se pueden mezclar.

Existen dos diferentes casos en el que se puede utilizar la ley de senos:
El primer caso es de dos ángulos y un lado.
Segundo caso: dos lados y un ángulo opuesto alguno de los lados.
En este caso pueden derivarse cuatro caso diferentes:
Supongamos que los lados c, b y el...