teorema del valor medio

MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

Juan Jesús Pascual

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f (x) = x 2 − 5x + 6 en [ 0, 5 ] ?
Solución:
El teorema de Rolle dice que:

Para una función f que es continua en [ a, b ] , derivable en (a, b) y
además cumple que f (a) = f (b) , entonces
existe como mínimoun c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0
Veamos si nuestra función cumple todas estas condiciones:
- Estudiamos la continuidad en [ 0, 5 ] :
Es inmediato que f es continua en todo ℝ , ya que se trata de un
polinomio. Así que f es continua en [ 0, 5 ]

- Estudiamos la derivabilidad en (0, 5) :
Es inmediato que f es derivable en todo ℝ , ya que se trata de un
polinomio. Así que f es derivable en(0, 5)
- Estudiamos si se cumple f (a) = f (b)


f (0) = 0 2 − 5 ⋅ 0 + 6 = 6
 ⇒ f (0) = f ( 5)

f (5) = 52 − 5 ⋅ 5 + 6 = 6


Podemos entonces afirmar que se cumple el Teorema de Rolle.
Hallemos el punto c, el cuál está dado por la condición f ′ (c) = 0 .
Tenemos que encontrar, entonces, los valores x que anulan la primera
derivada de la función. La derivada de f (x) = x 2 − 5x +6 es
f ′ (x) = 2x − 5 .
Así que f ′ (x) = 0 ⇒ 2x − 5 = 0 ⇒ x =

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5
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2. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f (x) = x − 2 en [ 0, 4 ] ?
Solución:
El teorema de Rolle dice que:
Para una función f que es continua en [ a, b ] , derivable en (a, b) y
además cumple que f (a) = f (b) , entonces
existe comomínimo un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0
Lo primero que vamos a hacer es escribir la función dada como sigue, ya
que se trata de una función de valor absoluto.

−(x − 2)

f ( x) = 

x − 2



si x < 2
si x ≥ 2

Veamos si nuestra función cumple todas estas condiciones:
- Continuidad en [ 0, 4 ] :
La continuidad de f sólo puede fallar en el punto 2. La función será
continua en 2si los límites laterales son iguales y su valor coincide con
el valor de f (2) :

lim f (x) = lim −(x − 2) = 0
−

x → 2−

x→ 2

lim f (x) = lim (x − 2) = 0
+

x→ 2+

x→ 2

f (2) = 2 − 2 = 0

Vemos que lim f (x) = lim f (x) = f (2) = 0 , luego la función es continua
−
+
x→ 2

x→ 2

en 2.
- Derivabilidad en (0, 4) :
La derivabilidad de f sólo puede fallar en el punto2. Para probar que
es derivable en 2 hay que ver si se cumple que f ′ (2− ) = f ′ ( 2 + ) :

f ′ (2− ) = lim
−
x→ 2

− (x − 2)
f ( x) − f ( 2 )
−( x − 2 ) − ( 2 − 2 )
= lim
= lim
= −1
x → 2−
x → 2−
x−2
x−2
x−2

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Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos

f ′ (2 + ) = lim
+
x→ 2

f ( x) − f ( 2 )
(x − 2) − (2 − 2 )
x−2
= lim
= lim
=1
x→ 2 +
x→2 + x − 2
x−2
x−2

f ′ (2− ) ≠ f ′ (2 + ) ⇒ No es derivable en 2.
Conclusión:
No se cumplen todos los requisitos del Teorema de Rolle. No existirá
ningún c ∈ (0, 4) que verifique f ′ (c) = 0 .

x 2 + ax si x ≤ 3

3. Halla a, b y c para que f (x) = 
cumpla el Teorema de

bx + c si x > 3


Rolle en [−1,7 ]
Solución:
El teorema de Rolle dice que:

Para una función f quees continua en [ a, b ] , derivable en (a, b) y
además cumple que f (a) = f (b) , entonces
existe como mínimo un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0
Veamos si nuestra función cumple todas estas condiciones:
- Continuidad en [−1,7 ] :
La continuidad de f sólo puede fallar en el punto 3. La función será
continua en 3 si los límites laterales son iguales y su valor coincide con
el valor de f (3) :lim f (x) = lim (x 2 + ax) = 9 + 3a
−
−

x→ 3

x→ 3

lim f (x) = lim ( bx + c) = 3b + c
+

x → 3+

x→ 3

f (3) = 9 + 3a
Se tiene que cumplir entonces que: lim f (x) = lim f ( x) = f ( 3) , es decir:
−
+
x→ 3

9 + 3a = 3b + c

- Derivabilidad en (−1,7 ) :

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x→ 3

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La derivabilidad de f sólo puede...