teorema del valor medio

TEOREMA DEL VALOR MEDIO EN LA INTEGRAL DEFINIDA

  La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del cálculo.
Forma integral delTeorema del valor medio


Demostración Dado que la función  es continua en el cerrado , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún , que llamaremos  y también un valor mínimo en el mismointervalo: , para algún . Es decir  y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base  y altura  ó  tendremos la siguiente desigualdad:

Lo que implica:

De donde se deduce que debe existiralgún  para el cual la función  alcanza el valor de la integral, es decir:


  
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del cálculo.El teorema no especifica como determinar , pero resulta que  coincide con el valor medio (promedio) de la función  en el intervalo .










EJERCICIOS RESUELTOS:




PRIMER TEOREMAFUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre  por. Si f es continua en , entonces F es derivable en  y F'(c) = f(c).
Consecuencia directa del primerteorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración
Lema
Sea  integrable sobre  yEntonces

Demostración del lema
Está claro que  para toda partición. Puesto que, la desigualdad se sigue inmediatamente.
Demostración
Por definición se tiene que.
Sea h>0. Entonces.
Sedefine  y  como:
,

Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,

Sea . Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
Entonces,
.
Puesto que , se tiene que
.
Y como  es continua en c setiene que
,
y esto lleva a que




Segundo teorema fundamental del cálculo
El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow,...