Teorema funadamental de valuacion

Mixba’al Rev. Met. de Mat.
Vol. 2, No 1, Mayo 2011. 127 – 149

El Primer Teorema Fundamental de
Valuación de Activos para tiempo discreto
y horizonte finito
Alejandro Sánchez Peralta

Resumen
El Primer Teorema Fundamental de Valuación de Activos
tiene una relevancia histórica que destaca por caracterizar la relación entre no-arbitraje y la existencia de una
medida de probabilidadequivalente, bajo la cual el proceso de precios descontado de algún derivado financiero
es una martingala. En este trabajo abordamos una de las
pruebas del Primer Teorema Fundamental de Valuación
de Activos en tiempo discreto y horizonte temporal finito,
pero con un espacio de estados no necesariamente finito.
Apegándonos a la referencia [3] establecemos en detalle
la demostración de este resultadousando el principio de
inducción matemática.
Palabras clave: Primer Teorema Fundamental 0 , arbitraje financiero,
medida martingala equivalente.
Clasificación de la AMS: 91B28

1.

Introducción

El proceso de comprar y vender simultáneamente (o casi) un mismo instrumento financiero en diferentes mercados, generando algún
beneficio económico con base en la diferencia de precios se denominaarbitraje financiero. Esta estrategia de mercado es tal, que nos permite
generar una ganancia libre de riesgo de manera indiscriminada.
0

Originalmente llamado El Teorema Fundamental de las Finanzas. A partir
la última parte de los 90’s se le llamó Primer Teorema Fundamental, pues en
esta década se establece un Segundo Teorema Fundamental relacionado con la
completez de mercado.

128A. Sánchez

Si en un mercado financiero algún agente logra una oportunidad de
arbitraje1 , dicho agente puede ejecutar tal estrategia de manera ilimitada, basado únicamente en la idea de que “más es mejor que menos”.
No obstante, esta posición es incompatible dentro de un mercado en el
que existan otros agentes competitivos, ya que no habría un portafolio
de inversión óptimo para los otrosagentes que también prefieren más
por menos.
Esto da lugar a una de las ramas más importantes dentro de las
finanzas matemáticas, que es la llamada valuación por arbitraje. El
estudio contemporáneo del arbitraje financiero se centra en el análisis
de las implicaciones de la ausencia de las oportunidades de arbitraje.
Y es en esta línea que surge uno de los resultados más interesantes en
lasfinanzas matemáticas actuales. Este es el Primer Teorema Fundamental de Valuación de Activos (PTFVA).
Fueron Phillip Dybvig y Stephen Ross quienes acuñaron el término
Teorema Fundamental de las Finanzas en un diccionario de economía
en 1987 (ver [2]). Sin embargo, un primer acercamiento a este resultado fue publicado por el segundo autor (S. Ross) once años antes. En
nuestro caso comentaremos algunosaspectos del arbitraje financiero
en un contexto matemático y financiero sencillo y, posteriormente desarrollamos en detalle la demostración del PTFVA en tiempo discreto
y horizonte finito. Por último, comentaremos un ejemplo desarrollado
por Stanley Pliska ([7]) para el que no se satisface el Primer Teorema
Fundamental.
2.

Un caso sencillo de arbitraje financiero

A lo largo de esta seccióntrabajaremos en RD . Esto obedece a dos
razones principalmente. La primera de ellas es que RD es un espacio
vectorial, lo cual es ventajoso para establecer conceptos tales como
el de portafolio financiero. La segunda razón es porque varias de las
hipótesis de un mercado financiero real, se satisfacen suficientemente
bien en este espacio como veremos más adelante.
Supongamos que trabajamos conun modelo de mercado en el que
existen un número finito de activos del mercado (digamos D), cuyos
perfiles de pago están dados en términos de bienes de consumo. Si
1

De existir una oportunidad de arbitraje, ésta es tomada de manera inmediata
debido a la gran cantidad de agentes que participan en el mercado. Esto ocasiona
que la ventana se cierre al momento, haciendo que el arbitraje se...