Teorema Fundamental De Calculo

UNIDAD 1
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

1.1.-Medición aproximada de figuras amorfas.
Rectángulo Genérico
 Definiremos, para nuestra presentación, un rectángulo genérico. El mismo se formará teniendo como base el eje de coordenadas, (bien sea eje X o el eje Y ), dependiendo de la curva que estemos estudiando.

En ocasiones el rectángulo genérico puede ser vertical, si tiene como baseel eje X . (Ver Figura 1). Pero es posible que el rectángulo sea horizontal, para este caso la base está sobre el eje Y. (Ver Figura 2).

Figura1 Figura 2
Ahora bien, la longitud de los rectángulos vendrá determinada por la curva. Es decir; donde toque el rectángulo a la curva, esa será la longitud.
El ancho del rectángulo vendrá dado por la exactitud del cálculo que deseamos hacer.Para estudios siguientes, haremos que el ancho del rectángulo se haga tan pequeño como el límite cuando tiende a cero.


1.2.- NOTACION SUMATORIA
Este tema es uno de los más simples de cálculo integral.
A continuación se explicará paso a paso como resolver un ejercicio de este tema:
1.- Identificar cual es el número con el que vas a empezar a sumar. Ese número esta debajo de este signo.2.- Después de haber identificado el número tienes que identificar otro número para saber hasta que número vas a terminar de sumar. Ese número se encuentra arriba de este signo: .
3.- Después de haber identificado los números, entonces pones los números que vas a sumar delante del signo igual que debes de poner enseguida del signo: .
4.- Sumas los números y esta terminado tu ejercicio.
5.- Si hayletra debajo del símbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numérico hasta que llegues al número que esta arriba del símbolo suma.
A continuación se te muestra un ejemplo:
1.- 4n=0 n=0+1+2+3+4=10
2.- 7k=1k (k+1)=1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)=143
La notación i=1nxi se lee:
Suma de x sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n. osimplemente suma de x sub-i, donde i va de 1 a n.
La letra debajo del operador se llama índice de la suma, en la expresión:
i=1nxi Note que el índice de la suma es i
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
NOTACION SUMATORIA ABIERTA: esta notación va e una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen por ejemplo:
i=13xi= x1+ x12 + x13NOTACION SUMATORIA PERTINENTE: esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo:
x1+ x12 + x13= i=13xi
Ejemplo #1: Si x1=3x2=9x3=11
Encontrar: i=1nxi
Solución: i=13xi= x1+ x12 + x13
=3=9+11
=23
Ejemplo #2: Six1= 1x2=2x3=-1
Encontrar: i=13x12
Solución: i=13x12 = x1+x22 + x32
= 12+22+(-1)2
= 1+4+1
=6
1.3.- SUMAS DE RIEMANN:
Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
DEFINICIÓN:
Consideremos losiguiente:
Una función fD donde D es un subconjunto de los números reales
l= [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos x0,x1,x2…….xn tales que a = x0<x1<x2……<xn=b
Crean una partición de l
P = x0,x1), [x1,x2)…….[ xn-1) xn
Si P es una partición con n elementos de l, entonces la suma de Riemann de f sobre l con la partición P se define como:
S =i=1nfyi(xi-xi-1)
Donde xi-1≤yi≤xi La elección de y; en este intervalo es arbitraria
Si yi = xi para todo i, entonces denominamos S con la Suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S con la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada Suma Trapezoidal.
1.4.- DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA:
Si f(x) está...