Teorema fundamental de la numeración

Teorema Fundamental de la numeración
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
, númeroválido en el sistema de numeración.
, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
, un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
,: númerode dígitos de la parte entera.
, coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria.
,: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmulageneral para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicadopor la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.Ejemplo en el sistema decimal.
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de símbolos válidos enel sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.




Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representadospor dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente aldígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierdade la coma fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas...