Teorema fundamental de la semejanza de triángulos.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros doslados, un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T) 
D)

Casos
Podrán presentarse 3 casos:
Primer caso
r corta a los lados AB y BC por puntos interiores aellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
 Por carácter reflejo
  Por ser correspondientes entre r || AC, secante AB
 Por ser correspondientes entre r|| AC, secante BC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por elcorolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en  se obtiene:

De  y  se obtiene la consideración que llamaremos (2):Luego de (1) y (2), resulta:
 Por definición de semejanza.
Segundo caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
 Por carácter simétrico.
Tercer caso
r marca a las semejantes de los lados AB yBC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N delsegmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces  por el caso I, semejanza que llamaremos.
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
BN=BM porconstrucción
α=α' por ser opuestos por el vértice.
β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM  por el primer corolario de la definición.
De  y, y por...