Teorema

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

APELLIDOS Y NOMBRES:

- BULNES TORRES JUAN CARLOS

TEMA:

- TEOREMA DEL CERO O BOLZANO, TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO, TEOREMA DE WEIERSTRASS

CURSO:

- CALCULO “I”

2011
TEOREMA DEL CERO O TEOREMA DE BOLZANO

Un caso paticular del teorema de valor intermedio es el teorema de Bolzano:

Supongamos que f (x) es una función continua en un intervalocerrado [a, b] y toma los valores de signo contrario en los extremos, y hay al menos un c [pic] (A, b) tal que f (c) = 0.

[pic]

El teorema de Bolzano no indica el valor o valores de c, que no hace sino confirmar su existencia.

APLICACIONES:

1) Compruebe que la ecuación x 3 + x - 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].

Consideramos la función f (x)= x 3 + x - 1, que es continua en [0,1], ya que es polinomio. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

En primer lugar, considere la función f (x) = x 3 + x - 1, que es continua en [0,1], ya que es polinomio. A continuación, el estudio de la señal en los extremos del intervalo:

f (0) = -1 0

Como los signos son diferentes, el teorema de Bolzano se puedeaplicar lo que determina que existe un c [pic] (0. 1) tal que f (c) = 0. Este proceso demuestra que hay una solución en este intervalo.

2) Demostrar que todo número real positivo tiene al menos una raíz cuadrada.

Solución: Sea n>0. Hemos de demostrar que existe un número real x tal que x2=n. Entonces x será la raíz cuadrada de n.
La ecuación x2=n es equivalente a la x2-n=0, luego hemos dedemostrar que , si g(x)=x2-n, g(x) tiene alguna raíz real. Si n=0, tiene raíz, luego podemos suponer que n>0. Entonces g(0)=-n1, ese valor es, por ejemplo n, ya que es g(n)= n2-n>0 y si 01, g(0)=0-n0, luego n tiene una raíz en [0,n].
Si n0 ¿Podemos afirmar que la funcion g(x)=f(x) + 3 tiene al menos un cero en [1,9].
El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerradoy acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.

g(x) = f(x) + 3
g(1) = f(1) +3 = -5+3 = -2 < 0
g(9) = f(9) +3 > 0 porque f(9)>0

Entonces g cumple las condiciones del teorema de Bolzano, así que se tiene al menos un cero en [1,9]
4) Hallar cuatro intervalos de la recta real en cadauno de los cuáles haya una raíz del polinomio g(x)=x4-x3-13x2+x+12.
Solución: La función g(x)=x4-x3-13x2+x+12 cumple, por ejemplo, que g(-4)=120>0; g(-2)= -180; g(2)=-300, luego tiene una raíz en cada uno de estos intervalos: (-4, -2), (-2,0), (0,2), (2,5), teniendo en cuenta que ni -2, ni 0, ni 2 son raíces de la ecuación.
Se pueden comprobar estos resultados en la primera escena, ya que lasraíces de la función g(x) y las de la función g(x)/40 coinciden. (Basta hacer p=1, q=-1, r=-13, s=1, t=12). En la escena se puede comprobar que las raíces son -3,-1, 1 y 4; cada una de ellas está en un intervalo de los obtenidos como solución del problema.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Nos dice que si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b] entonces para todo d perteneciente a(f(a),f(b)) existe un c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=d
Para demostrarlo, suponemos una funcion g(x)= f(x) – d (d es una constante cualquiera)
f(x) es continua por la hipótesis del teorema, d es continua por ser función constante, resta de funciones continuas da como resultado una función continua. g(x) es continua.

Evaluamos g en un punto a:
g(a)=f(a) – d
La función en ese punto es negativa,ya que por hipótesis tenemos que d pertenece a (f(a), f(b)) o sea que d>f(a).
Evaluamos g en un punto b:
g(b)=f(b) – b
La función en ese punto es positiva, ya que por hipótesis tenemos que d pertenece a (f(a), f(b)) o sea que d
Como g es continua y g(a).g(b)    f(c)=d
Así queda demostrado el teorema.

APLICACIONES:

1) Usando el teorema del valor intermedio probar que la función...