Teorema

Teorema: fórmulas para 
Si  es una sucesión aritmética con diferencia común , entonces la n-ésima suma parcial  (esto es, la suma de los primeros  términos), está dada por-------------------------------------------------
o
Demostración
Podemos escribir

.
Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa denúmeros reales resulta 
,
con  veces dentro del primer par de paréntesis. Así
.
La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros  enteros positivos. Con la fórmula para la suma de losprimeros  enteros positivos, , entonces tenemos
-------------------------------------------------


Sustituimos en la últimaecuación por  y factorizamos con lo cual
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Puesto que , la última ecuación es equivalente a-------------------------------------------------
.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética es una sucesión en la quecada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d .
Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifica que:
an = an - 1 + dEjercicio: cómo reconocer una progresión aritmética
Para asegurarse de que una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre lamisma. Además, esta comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión.
O ¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?Resolución:
· Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:
5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ...
Es una progresión aritmética de diferencia d =...