Teoremas De Funciones Continuas

Continuidad en un intervalo
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
•

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto(a, b)

•

f es continua en a por la derecha:

•

f es continua en b por la izquierda:

Consecuencia
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.Ejemplo:
Estudiar la continuidad

de en el intervalo [0, 4]

f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es
continua en toda .
f(x) es continua por la derechaen x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua
en toda .
Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la
continuidad en el punto x =2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.
f(2)= 4

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

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Teorema de Weierstrass
Si una función f(x) está definida y escontinua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x)
alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b]donde f alcanza valores
extremos absolutos:

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma
que existen.
Ejemplo:

es continua en el intervalo [-1, 4]Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y que toma valores de signo
contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈(a, b) tal que f(c) = 0.

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Ejemplo:-

Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].

Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamosel signo en los extremos del intervalo:
f(0) = -1 < 0
f(1) = 1 > 0
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c ∈(0. 1) tal
que f(c) = 0. Lo que demuestra que...