TEOREMAS DE GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. TEOREMAS SOBRE POLIGONOS. TEOREMAS DE GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO.

TEOREMAS DE GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. TEOREMAS SOBRE POLIGONOS.
TEOREMAS DE GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO.
Una de las rectas, de un triángulo, con la que estamos mas familiarizados es la altura, pues todos hemos calculado el área de esta figura alguna vez. Recordemos que la altura en un triángulo es la recta perpendicular a un lado y que pasa por el vértice opuesto aese lado, dada esta definición tenemos tres rectas que son alturas del mismo triángulo, un hecho importante que podemos asegurar sobre estas tres rectas es que son concurrentes, es decir, que tienen un punto en común; este punto de concurrencia es uno de varios puntos importantes en un triángulo y se conoce como ortocentro.
Si tomamos las bisectrices de los tres ángulos interiores de untriángulo, podemos asegurar que estas tres rectas también son concurrentes, este punto de concurrencia se llama incentro que además tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita, de ahí su nombre, la circunferencia inscrita es aquella, que tiene su centro en este punto y es tangente a los tres lados del triángulo.
Otras rectas importantes en un triángulo son las medianas, son aquellasrectas que van del punto medio de cada lado al vértice opuesto, al igual que las anteriores estas rectas concurren y su punto de concurrencia es llamado punto mediano o centroide, este punto es importante pues es el centro de gravedad del triángulo, es decir, si construimos un triángulo de cualquier material y encontramos su centroide, este punto será el centro de equilibrio del mismo.
Finalmentemencionamos las rectas conocidas como mediatrices, dichas rectas son aquellas perpendiculares a cada lado del triángulo por el punto medio, no es difícil adivinar que estas rectas también son concurrentes, el punto de concurrencia es llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo).
Una forma de justificar laconcurrencia de los tres primeros grupos de rectas es mediante un teorema importante en geometría conocido como Teorema de Ceva que dice: si en un triángulo ABC tomamos tres rectas que pasen por cada uno de los vértices y las cuales intersectan los lados BC, CA y AB en L, M y N, respectivamente, estas rectas son concurrentes si y sólo si (AN/NB)(BL/LC)(CM/MA)=1 o en su forma trigonométrica(sen(ACN)/sen(NCB))(sen(BAL)/sen(LAC))(sen(CBM)/sen(MBA))=1. Fig.1.

Fig.1
Para demostrar la concurrencia de las mediatrices solo es necesario conocer la definición de la mediatriz de un segmento, que dice, es el lugar geométrico de los puntos que estan a la misma distancia con respecto a los extremos del segmento.
Podemos preguntarnos cuales de estos puntos estarán siempre dentro del triángulo ycuales algunas veces fuera y algunas veces dentro. La siguiente figura muestra los puntos notables en el triángulo; aunque no es una demostración formal, podemos ver que los cuatro conjuntos de rectas son concurrentes, el triángulo puede ser modificado con el ratón presionando cualquier vértice del triángulo y arrastrando el ratón sin dejar de presionar, con esto podemos responder a la pregunta arribaplanteada.


ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
Primero veremos cuanto mide el ángulo formado por dos cuerdas cuya intersección esta sobre la circunferencia, ver Fig.2, primero supongamos que una de las cuerdas es un diametro de la circunferencia con centro en O, entonces queremos ver cuanto mide el ángulo CAB. Sea el triángulo BAO que es isosceles pues OB y OA son radios de la circunferencia, poresta razón los ángulos OAB y ABO son iguales, además sabemos que los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados y también tenemos que los ángulos COB y BOA suman 180 grados entonces se da la igualdad de los siguientes ángulos COB=OAB+ABO pero los ángulos de la derecha de la igualdad son iguales, es decir, COB=2OAB esto es el ángulo formado por dos cuerdas cuya intersección esta sobre...