teoremas de Tales y Pitagoras

Triángulo AREA Y PERIMETRO

Perímetro:

Área:


Elementos:
b: base.
a: altura.
c, d: lados.
Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.



 
Podemos deducir la expresión del área de un triángulo a partir del área de un paralelogramo.
 
El área del triángulo ABC es la mitad de la del paralelogramo ABCD(Mueve el botón ) de base b y altura a.
Portanto el área del triángulo es

Ejemplos:
Si la base de un triángulo mide 10 cm y su altura mide 5 cm., entonces el área del triángulo es 25 cm2

 


PERÍMETRO Suma de sus lados
P= b + c + d

 


ÁREA El área de un triángulo es el producto de uno de sus lados por la altura sobre él dividido entre dos.



 



Área y perímetro de un triángulo


Perímetro de un triánguloEl perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.
Triángulo Equilátero
Triángulo Isósceles
Triángulo Escaleno








Área de un triángulo
El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.
La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).


Ejemplo
Hallar el área del siguiente triángulo:


Área de untriángulo equilátero






Ejemplo
Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.



Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Ejemplo
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

Semiperímetro
El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus ladospartido por 2.
Se nombra con la letra p.

Fórmula de Herón
La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.

Ejemplo
Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.




Circunferencia circunscrita a un triángulo
R=radio de la circunferencia circunscrita



Circunferencia inscrita en un triánguloR=radio de la circunferencia inscrita
P = semiperímetro






Conociendo dos lados y el ángulo que forman.






El teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
 
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
Enun triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.-En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga delado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulosazules (base por altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo. Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:TEOREMA DE PITÁGORAS

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo...